Niveau Maths sup

Somme de Riemann

Posté par
sk8er_simo 04-05-08 à 14:30

Bonjour à tous, je souhaite calculer la limite de cette suite et je suis un petit peu bloqué :
Alors voila ce que j'ai :
$[{n^{\frac{1}{n+1}}(2n)^{\frac{1}{n+2}}...(kn)^{\frac{1}{n+k}}...(n^2)^{\frac{1}{2n}}]^{\frac{1}{ln n}}$

Je nomme ma suite $t_{n}$
et je calcule ln $t_{n}$
$ln t_{n} = \frac{1}{ln n}\Bigsum ln(n.k)^{\frac{1}{k+n}} \\ = \frac{1}{ln n} \Bigsum \frac{1}{n+k}ln n^2 +\frac{1}{n+k} ln (\frac{k}{n}) \\ = ln n \Bigsum \frac{1}{n+k} + \Bigsum \frac{1}{n+k}ln \frac{k}{n} \\ = \frac{1}{n}\Bigsum \frac{ln n}{1+\frac{k}{n}}+ \frac{1}{n}\Bigsum\frac{1}{1+\frac{k}{n}}ln(\frac{k}{n})$
Mon deuxième terme tend vers $\Bigint_{0}^{1}$ $\frac{ln x}{1+x}dx$
mais qu'advient t-il du premier ?
Merci pour toute aide éventuelle !

Posté par re : Somme de Riemann 04-05-08 à 14:54

je précise dans ma somme que mon k varie de 1 à n

Posté par re : Somme de Riemann 04-05-08 à 15:26

bonjour

c'est bienjouépour le deuxième terme mais tu ne penses qu'il y a un petit problème de parenthèse entre la 2è et 3è ligne et donc qu'il y a en plus [1][/lnx]?

je te redis si je trouve pour le 1er terme

Posté par re : Somme de Riemann 04-05-08 à 15:52

tu as tout à fait raison !! le ln n était en facteur ! donc jouait pour le 1er et le 2eme terme !
mais dans ce cas la j'ai :
$ln n (\frac{1}{n}\Bigsum \frac{1}{1+\frac{k}{n}}+ \frac{1}{n}\Bigsum \frac{ln\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}})$
et là...?
Sans le ln n en facteur les sommes convergent naturellement respectivement vers
$\Bigint_{0}^{1}\frac{dx}{1+x}$ et $\Bigint_{0}^{1}\frac{ln x}{1+x}dx$

Posté par re : Somme de Riemann 04-05-08 à 18:05

Bonjour

Sauf erreur :

$\Large{ln(t_n) = \frac{1}{ln(n)}.\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}.ln(\frac{k}{n}.n^2)$

Soit :

$\Large{ln(t_n) = \frac{1}{ln(n)}[\sum_{k=1}^n \frac{ln(\frac{k}{n})}{n+k} + \frac{ln(n^2)}{n+k}]$

Donc :

$\Large{ln(t_n) = \frac{1}{ln(n)}[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{ln(\frac{k}{n})}{1+\frac{k}{n}}] + 2[\frac{1}{n}.\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}]$

Tu devrais pouvoir conclure maintenant ...

A bientôt !

Posté par re : Somme de Riemann 04-05-08 à 18:43

Merci beaucoup lyonnais
Mais juste pour etre sur, le premier terme avec le 1/ln n en facteur va tendre vers 0 et le second terme va tendre vers (1/1+x) de 0 à 1
d'ou t_n--> $e^4$ ?

Posté par re : Somme de Riemann 04-05-08 à 19:24

Je dirais plutôt :

que t(n) tend vers exp[2.ln(2)] = exp(ln(4)) = 4

Sauf erreurs ...

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