il faut écrire le système sous forme matricielle ensuite tu va tomber
sur des suites géométrique et le reste se fait facilement

je ne sais pas

L'écriture matricielle dont il est question ici est la suivante
:

X_n+1   =   A   *   X_n
où
------------------------
A = [  1     -2 ]
        [  1      1 ]
-------------------------
X_n   =  [U_n]
           [V_n]
-------------------------
X_n+1   =  [U_n+1]
               [V_n+1]
-------------------------
(dpnc A est une matrice de dimensions 4*4
et X_n et X_n+1 des vecteurs 2*1 )

Tu veux plutot dire une matrice 2x2 non?
Parce qu'en fait c'est le cas.

Si t'es en mathspé tu devrais tout de suite avoir le reflexe de
mettre ce genre de suites sous forme matricielle, ou de trouver de
tête la forme des suites (vn) et (un).

Cependant je ne suis pas convaincu de l'utilité de faire ca, sous reserve
d'existence (légitime) on a

Somme des u(n+1)X^n sur [0,+oo[=somme des u(n)X^n sur [0,+oo[ - somme des
v(n)X^n sur [0,+oo[

soit
(Somme des u(n+1)X^(n+1) sur [0,+oo[)/X=somme des u(n)X^n sur [0,+oo[ -
somme des v(n)X^n sur [0,+oo[

(Somme des u(n)X^n sur [0,+oo[-u(0))/X=somme des u(n)X^n sur [0,+oo[ - 2somme
des v(n)X^n sur [0,+oo[


si y'appelle Su la série de terme général u(n)x^n et Sv la série
de terme général v(n)x^n on obtient

(Su-u(0))/X=Su-2Sv

Su-u(0)=X(Su-2Sv)
XSu-2XSv-Su+U(0)=0
Soit

(Su*(X-1)+U(0))/2X=Sv (L1)

De même si on "tripatouille" un peu la 2e relation de récurrence on
doit trouver une relation linéaire simple, pour ainsi obtenir un
simple système "linéaire" (on est plus dans un ev là)

la 2e relation de récurrence donne alors
somme des v(n+1)X^n sur [0,+oo[=somme des v(n)x^n sur [0,+oo[+somme des
u(n)x^n sur [0,+oo[

Soit encore

(somme des v(n+1)X^(n+1) sur [0,+oo[)/X=somme des v(n)x^n sur [0,+oo[+somme
des u(n)x^n sur [0,+oo[

par glissement d'indice, comme tout à l'heure ca nous donne

(somme des v(n)X^(n) sur [1,+oo[)/X=somme des v(n)x^n sur [0,+oo[+somme
des u(n)x^n sur [0,+oo[

Soit encore

(somme des v(n)X^(n) sur [0,+oo[-v(0))/X=somme des v(n)x^n sur [0,+oo[+somme
des u(n)x^n sur [0,+oo[

Et ainsi

(Sv-vo)/X=Sv+Su
Sv-vo=XSv+XSu
(Sv(1-X)-vo)/X=Su (L2)

On a donc un système de 2équations à 2inconnues

(Su(X-1)+uo)/2X=Sv (L1)
(Sv(1-X)-vo)/X=Su (L2)

J'essaierai de trouver la solution quand j'aurai un peu plus le temps, ca
semble barbare à première vue, mais il faut juste se ramener à ce
que l'on connait sur la résolution de ce genre de trucs lorsque
les coeffs sont dans un corps. Mais la solution est à portée de main
en tout cas.

Dans les 2e lignes de mon calcul de série j'ai oublié le coefficient
2 devant la somme des vnX^n, il est revenu après, ca n'a pas
eu d'incidence, je croyais l'avoir corrigé partout, visiblement
non, mais il est revenu au moment opportun  

J'ai tout tapé sur Maple (grand flemmard que je suis) et je
trouve 2 fractions rationnelles, ce qui ne doit choquer personne
puisqu'un théorème nous dit que lorsque l'on a des relations
de récurrences linéaires, alors la série si elle existe est forcément
une fraction rationnelle, et Maple me dit que:

Sv=(-voX+vo+uoX)/(1-2X+3X²)
Su=(-uo+2voX+uoX)/(1-2X+3X²)

Avec je le rappelle pour ceux qui dormaient que uo et vo sont respectivement
les 1ers termes des suites u et v et que Sv et Su sont respectivement
les sommes des séries des suites de termes générales (vn) et (un)

Je l'ai fait par Maple pour aller plus vite, mais étant donné qu'on
avait un système 2x2 tout linéaire (affine peut etre) bein ca se
faisait à la main.

Petit rappel donc:
Sv=(vo+(uo-vo)X)/(1-2X+3X²)
Su=(X(2vo+uo)-uo)/(1-2X+3X²)

Sauf erreur de calcul possible.
Et l'avantage c'est que cette solution ne nécessitait aucune
connaissance particulière en algèbre linéaire.