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Niveau Maths sup
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somme de sh(x)

Posté par gtaman (invité) 03-10-05 à 22:05

bonjour,voila sur quoi je bloque,il faut calculer cela
n
sh(a+kb) avec (a,b)2
k=0
et n
merci d'avance et bonne soiré

Posté par darwyn (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:11

En utilisant la définition de sh(x) tu devrais y arriver.  Tu peux ensuite transformer ta somme en deux sommes et ces sommes sont des sommes de termes d'une suite géométrique. Enfin, à première vue.

Posté par gtaman (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:18

possible darwyn,je vais essayer cela,si quelqu'un a  une autre idée qu'il la fasse savoir!merci

Posté par gtaman (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:31

jarrive pas a trouver un truc simple,svp aidez moi!

Posté par
Ksilver
re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:33

la methode proposé par darwyn est la plus intuive et fonctione tres bien.


il y aussi celle la :

multiplié ta somme par sh(b/2) et utilise sh(a)sh(b) = 1/2(cosh(a+b)-cosh(a-b))

(en prenan b/2 pour b) la tu arrive a un truc qui va te permetre de simplifier ta somme (les cosh(a+kb+b/2) et les cosh(a+kb-b/2) se simplifiant 2 a 2 entre les thermes de la sommes) puis tu a un resultat que tu peut refactoriser en reutilisant la formule precedente dans l'autre sens...

voila cette methode est bcp plus rapide mais nettement moin intuitive (faut la connaitre quoi) elle marche tres bien pour toute les somes trigonometrique (hyperbolique ou non)

Posté par
Ksilver
re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:34

tu aboutira pas un truc simple a la fin de toute facon (au mieux un produit de fonction trigo diviser par une fonction trigo)

Posté par gtaman (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:36

moi jatéri a cela a la fin
sh(a)ch(kb)+ch(a)sh(kb)

Posté par darwyn (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:37

bon j'ai regardé vite fait, la méthode de départ est bonne, ensuite il faut faire apparaitre des sh un peu de tous les côtés.
Tu devrais trouver quelque chose qui ressemble à ca :
3$\frac{1}{2}\frac{sh((n+1)b/2)sh(a+nb/2)}{sh(b/2)}

Posté par gtaman (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:41

jarive pa tro a voir comen vs faite en fait,pouriez vous me mettre juste la premiere ligne de calcul,apré je me débrouilleré ya pa de soucis

Posté par darwyn (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:41

Une fois que tu as des trucs qui ressemblent à ca : 1+e^((n+1)b), il faut factoriser par e^((n+1)b/2) afin de faire apparaitre le sh. (a faire quatre fois si je ne me trompe pas)
Ensuite, tu peux utiliser le fait que sh soit impair, et tu peux factoriser, ce qui te fais apparatire sh(a+nb/2) sous la forme avec des exponentielles.
Si ca ne te suffit pas, je te détaillerai le calcul en latex, mais essaie bien avant, parce que c'est long...

Posté par darwyn (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 22:42

Ok, je vais te le faire, mais ca va prendre du temps..

Posté par darwyn (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 23:05

5$S=\Bigsum_{k=0}^nsh(a+kb)=\Bigsum_{k=0}^n(\frac{e^{a+kb}-e^{-(a+kb)}}{2}
5$S=\Bigsum_{k=0}^n(\frac{e^{a+kb}}{2})-\Bigsum_{k=0}^n(\frac{e^{-(a+kb)}}{2})
5$S=\frac{1}{2}[e^a\Bigsum_{k=0}^ne^{kb}-e^{-a}\Bigsum_{k=0}^ne^{-kb}]
5$S=\frac{1}{2}[e^a(\frac{1-e^{(n+1)b}}{1-e^b}+e^{-a}\frac{1-e^{-(n+1)b}}{1-e^{-b}})]
5$S=\frac{1}{2}[e^a\frac{e^{\frac{(n+1)b}{2}}}{e^{\frac{b}{2}}}\frac{sh(\frac{(n+1)b}{2})}{sh(\frac{b}{2})}-e^{-a}\frac{e^{\frac{-(n+1)b}{2}}}{e^{\frac{-b}{2}}}\frac{sh(\frac{(n+1)b}{2})}{sh(\frac{b}{2})}]
On a fait disparaitre les moins dans les deux sh du second terme puisque sh(-x)=-sh(x)
5$S=\frac{1}{2}\frac{sh(\frac{(n+1)b}{2})}{sh(\frac{b}{2})}[e^{a+\frac{nb}{2}}-e^{-(a+\frac{nb}{2})}]
Et, avec le 1/2 de devant, on a :
5$S=\frac{sh(\frac{(n+1)b}{2})sh(a+\frac{nb}{2})}{sh(\frac{b}{2})}

Voilà, il n'y a pas tous les détails, mais ca devrait suffire...

Posté par darwyn (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 23:06

Ca me parait bon, si tu trouves une erreur, dis-le-moi.

Posté par darwyn (invité)re : somme de sh(x) 03-10-05 à 23:09

Au passage, la méthode est la même quand tu as a sommer des sinus, cosinus ou cosinus hyperboliques.
Ce sont des exos de prépas très classiques.



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