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Somme de suite

Posté par
Morgan5967 20-09-20 à 17:32

Bonjour , je bloque sur un exercice où il faut simplifier une somme de suite.

On considère la somme S définie par :
S=\sum_{k=0}^{n}{u_{k}}

En observant que u_{k} = v_{k} +k-5 pour toute valeur de k comprise entre 0 et n , simplifier la somme S et montrer que :
S=20(1-0.5^{n+1} ) + \frac{n²-9n-10}{2}

Donnés: On sait que u_{k}=10*0.5^{n}+n-5 et que v_{k}=0.5^{n}

J'en ai donc déduis qu'il fallait faire  S=\sum_{k=0}^{n}{u_{k}}=\sum_{k=0}^{n}{10*0.5^{n} + \sum_{k=0}^{n}{n-5}
Donc pour \sum_{k=0}^{n}{10*0.5^{n}= 10*(\frac{1-0.5^{n+1}}{1-0.5}=20 (1- 0.5^{n+1})

Cependant pour l'autre somme je n'arrive pas a retrouver ce que je dois. Je reconnais que c'est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme -5 mais en appliquant la formule je ne trouve pas du tout ca
En espérant que vous puissiez m'aider

Posté par
alb12re : Somme de suite 20-09-20 à 18:03

salut,
à premiere vue le resultat est correct
peux tu detailler le calcul de la somme des k-5 ?

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 18:17

Tres bien !
Du coup pour k-5 , on aurait \sum_{k=0}^{n}{(k-5)} = (n+1)(\frac{-5+n}{2}) = \frac{n²+4n-5}{2} ?

Posté par
alb12re : Somme de suite 20-09-20 à 18:19

le terme de rang n n'est pas n, là est ton erreur

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 18:26

Il est donc de quel rang ? Car si de "base" il est de rang n non ?

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 19:15

Ce serait de rang n-1 ?

Posté par
alb12re : Somme de suite 20-09-20 à 20:12

dans la formule c'est (u(0)+u(n))/2 avec u0=-5 et u(n)=??

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 20:29

U(n)= 10*0.5^(n)+n-5

Donc on aurait (n+1)(u(0)+u(n))/2 ?

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 20:42

On a alors (n+1)((-5+10*0.5^(n)+n-5))/2
                 =(-5n + 10n*0.5^(n)+n²-5n-5+10*0.5^(n)+n-5)/2
                 =(n²-9n-10+10n*0.5^(n)+10*0.5^(n))/2

Je retrouve une partie du résultat mais j'ai une partie en trop je ne sais pas en quoi c'est du ?

Posté par
alb12re : Somme de suite 20-09-20 à 21:08

pour la somme des 10*(1/2)^k tu l'as faite au debut c'etait juste
il faut juste ajouter la somme des k-5 qui vaut (n+1)/2*(-5+n-5)

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 21:13

Ah oui , tres bien merci beaucoup !
Juste j'ai une derniere question , on utlise n-5 comme dernier terme car on commence à -5 c'est cela ?

Encore merci de votre aide , bonne soirée !

Posté par
alb12re : Somme de suite 20-09-20 à 21:19

le terme de rang n pour cette suite geometrique est u(n)=u(0)+n*r=-5+n*1=n-5

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 21:22

Ah oui ok je vois , merci beaucoup pour votre aide

Posté par
alb12re : Somme de suite 20-09-20 à 21:22

oups arithmetique

Posté par
alb12re : Somme de suite 20-09-20 à 21:26

connais tu le moyen de retenir la formule donnant la somme de plusieurs termes consecutifs d'une suite arithmetique ?

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 21:29

Je sais que la formule est nombre de terme*(moyenne du premier et du dernier terme) mais non je ne connais pas de moyen pour retenir

Posté par
alb12re : Somme de suite 20-09-20 à 21:34

oui c'est à cette "formule" que je pensais. Tres bien. Bonne continuation

Posté par
Morgan5967re : Somme de suite 20-09-20 à 21:39

Merci à vous aussi !


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