Ouais, par récurrence.

1^k+1+2^k+1+...+n^k+1=1^k+2^k+...+n^k
                                +2^k+...+n^k    
                                       ...
                                          +n^k

Donc :
1^k+1+2^k+1+...+n^k+1= P_k(n)+P_k(n)-P_k(1)+...+P_k(n)-P_k(n-1)
=nP_k(n)-_i=1..n-1P_k(i)
Si on a supposé, dans la récurrence, que P_k(X) était de degré k alors, d'après le premier terme "nP_k(n)", P_k+1(X) est de degré k+1.

Je penses que ca doit être ca , mais je comprends pas trop comment tu fais 1k+1+2k+1+...+nk+1=1k+2k+...+nk
                                +2k+...+nk    
                                       ...
                                          +nk
tu pourrais le détaillez ou l'expliquez ca serait gentil

c'est bien ca ; j'ai compris finalment comment tu as fait franchement merci