Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Somme de trois carrés
Bonjour à tous
Petite amusette (comme dirait Camélia) 
Le produit de deux carrés est un carré :
a²u² = (au)²
Le produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés :
(a² + b²)(u² + v²) = (au + bv)² + (av - bu)²
Le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés (Euler) :
(a² + b² + c² + d²)(u² + v² + w² + x²) = (au - bv - cw - dx)² + (av + bu + cx - dw)² + (aw - bx + cu + dv)² + (ax + bw - cv + du)²
[Par conséquent, pour prouver que tout nombre entier est somme de quatre carrés, il suffit de le prouver pour les nombres premiers]
Quelle est la formule analogue pour les sommes de trois carrés ?
Plus précisément, trouver trois polynômes P, Q, R à coefficients dans Z, tels que quels que soient a, b, c, u, v, w, on ait l'égalité :
(a² + b² + c²)(u² + v² + w²) = P(a, b, c, u, v, w)² + Q(a, b, c, u, v, w)² + R(a, b, c, u, v, w)²
Bonne réflexion.
Cordialement
Frenicle
Salut !
3 = 1²+1²+1²
5 = 1²+2²+0²
et 15=3*5 ne s'ecrit pas comme sommes de trois caré (car il est congru a 7 modulo 8, et qu'une somme de trois caré n'est jammais congru a 7 modulo 8...)
ceci dit le probleme de savoir si un nombre s'ecrit comme somme de trois caré est aussi résolue : les seuls nombres à ne pas etre sommes de trois caré sont les nombres de la formes 4^h*(8k+7), pour h et entier quelconque.
et en cherchant un peu plus sur internet, je suis sur qu'on trouverai une belle formule qui donne le nombre de facon de décomposer un nombres comme somme de toris caré.
Disons que frenicle a choisis le cas le plus difficile, les deux premiers se retrouvent très simplement, en utilisant des propriétés de modules dans les complexes ou les quaternions, mais le troisième est ce qu'il faut le déduire, ou le trouver directement?
hatimy > Ksilver a résolu le problème : les polynômes cherchés n'existent pas !
Sinon, 15 serait une somme de trois carrés.
Cordialement
Frenicle
Ksilver > les seuls nombres à ne pas être sommes de trois carrés sont les nombres de la forme 4h(8k + 7)
C'est exact. On peut en déduire un célèbre théorème énoncé par Fermat et démontré par Gauss :
Tout entier est somme de trois nombres triangulaires (un nombre triangulaire étant un nombre de la forme k(k+1)/2). Comment ?
Bonjour à tous
J'avais lu en diagonale la proposition de frenicle et je me suis lancée dans la recherche d'un polynôme à coefficients réels qui réponde à la question pour tout réel. (Les identités proposées pour 2 et 4 sont valables n'importe où). Je suis persuadée qu'il n'en existe pas, mais je n'ai pas réussi à le prouver de manière convaincante. Quelqu'un aurait-il des idées?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac