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SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes

Posté par
MATHISprepa 26-10-22 à 21:41

Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice de maths pourtant assez basique.
Pouvez vous me venir en aide ?

X et Y sont deux variables aleatoires independantes qui suivent la meme loi geometrique de parametre pa appartenant à )0;1( , on pose q=1-p

determiner la loi de Z=X+Y

voilà ce que j'ai fait :
\sum_{z=i+j}^{}{p((X=i)\bigcap{(Y=j)}}
\sum_{z=i+j}^{}{p((X=i)\bigcap{(Y=z-i)}}
\sum_{z=i+j}^{}{p((X=i)*p(Y=z-i)}}
\sum_{k=0}^{k-1}{(p(1-p)^(i-1) ) *p(1-p)^(z-i-1)}
\sum_{k=0}^{k-1}{p^2 (1-p)^(z-1)}

merci beaucoup pour votre aide

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 26-10-22 à 22:34

salut

que vaut P(X = k) quand X suit la loi géométrique de paramètre p ?

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 26-10-22 à 23:14

p(X=k)=p(1-p)^(k-1) non ?

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 09:57

et est-ce ce que tu as utilisé dans ton premier post ?

PS quand on veut mettre plusieurs choses en exposant en latex on utilise des accolades p^{i - 1} donne p^{i - 1}

et inutile d'écrire des parenthèses inutiles

enfin connais-tu la somme des termes d'une suite géométrique ?

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 10:08

je crois que oui j'ai écrit la premiere avec i-1 et la deuxieme avec z-i-1
oui :
\sum_{}^{}{x^k}=&1/(1-x) \sum{kx^{k-1}}=1/(1-x)^2 \sum{(k-1)kx^{k-2}}=1/(1-x)^2

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 10:15



peux-tu nous reprendre proprement le calcul de P(Z = z) et le terminer avec les indications/questions que je te donne ... et qui devrait te permettre de finir le calcul ...

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 10:24


\sum_{z=i+j}^{}{p((X=i)\bigcap{(Y=j)}}
\sum_{z=i+j}^{}{p((X=i)\bigcap{(Y=z-i)}}
\sum_{z=i+j}^{}{p((X=i)*p(Y=z-i)}}
\sum_{k=0}^{k-1}{p*(1-p)^{i - 1}  *p*(1-p)^{z-i - 1}}
\sum_{k=0}^{k-1}{p^2 (1-p)^{z - 2}}

Mais je suis desolé je ne vois pas d'erreur et je ne econnait pas une somme geometrique à moins que je dois faire un changement d'indice ?

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 10:38

oui pardon mais avec tes exposants qui n'en étaient pas je me suis mélangé les pinceaux

S : avant de continuer il serait bien de connaitre le signe = et de travailler sur une seule ligne et commencer par ce qui est demandé, écrire des P majuscule pour les proba, et quand je regarde ton code pourquoi y mettre des ^{} inutiles ...  

P(Z = z) = \sum_{z = i + j} P((X = i)\bigcap {(Y = j)) = \sum_{z = i + j} P((X = i) \bigcap (Y = z - i)) = \sum_{z = i + j} P((X = i) * P(Y = z - i) = \sum_{k = 0}^{k - 1} p * (1 - p)^{i - 1} * p * (1 - p)^{z - i - 1}} = \sum_{k = 0}^{k - 1} p^2 (1 - p)^{z - 2}

ensuite ben tu peux calculer cette somme sans le symbole

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 10:57

je comprends pas, la somme devrait se finir en z-1 et pas k-1 sinon cela n'a aucun sens non ?
mais du coup je suis coince je ne peux sortir de la somme que p^2 non ?

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 11:02

desolé si je suis un peu perdu, les maths ne sont pas du tout mon point fort

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 11:44

non ce que tu as fait est tout bon !! ha mais non la bonne sup de l'indice est fausse effectivement :

tu veux i + j = z donc i varie de ... à ... ?


ensuite les termes de la somme dépendent-ils de l'indice k ?

conclusion ?

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 12:01

euh alors là jsp

mais si j'ai bien compris les terme de la somme ne dependent pas de i
qui serait en borne superieur de la borne et ca donnerait quelque chose comme ça :
\sum_{k = 0}^{i- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2}=p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{k = 0}^{i- 1} 1=p^2 (1 - p)^{z - 2}

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 12:44

oui sauf que la borne sup est toujours fausse !

z est un entier naturel
i est un entier naturel

si tu veux i + j = z alors i varie de ... à ... ?

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 12:44

et le résultat de ta somme est fausse (avec ta borne)

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 12:58

je ne sais pas desolé, peut etre de 0 à Z ?
mais je ne vois pas ce que ca change etant donne que les termes n'y sont pas lié ?

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 13:49

ben voila !!

donc

carpediem @ 27-10-2022 à 10:38

P(Z = z) = ... = \sum_{k = 0}^{\red z} p * (1 - p)^{i - 1} * p * (1 - p)^{z - i - 1} = \sum_{k = 0}^{\red z} p^2 (1 - p)^{z - 2}

ensuite ben tu peux calculer cette somme sans le symbole

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 13:50

et en fait non il y a encore des erreurs car tu change i en k sans le changer partout !!

carpediem @ 27-10-2022 à 13:49

ben voila !!

donc
carpediem @ 27-10-2022 à 10:38

P(Z = z) = ... = \sum_{i = 0}^{\red z} p * (1 - p)^{i - 1} * p * (1 - p)^{z - i - 1} = \sum_{i = 0}^{\red z} p^2 (1 - p)^{z - 2}

ensuite ben tu peux calculer cette somme sans le symbole

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 14:03

comment ça ??
Il n'y a pas de k

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 14:05

parce que là c'est exactement l'expression que j'avais trouvé dans ma question initiale que je n'arrivais justement pas à calculer

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 14:47

ben relis toi !!

il n'y a jamais eu de k mais z, i et j ... et tout d'un coup au beau milieu de ton calcul il apparait un k ... qui n'a pas lieu d'être puisque c'est i !!

Posté par
flightre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 14:55

salut

avec x+y = z     , x  demarre à 1 et y aussi

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 15:02

j'ai ecrit ca toute l'heure
\sum_{k = 0}^{i- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2}=p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{k = 0}^{i- 1} 1=p^2 (1 - p)^{z - 2}

c'est bon ?

Posté par
flightre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 15:05

c;est bien ca  

Posté par
flightre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 15:06

attention à la borne inferieure ca commence à  1

Posté par
flightre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 15:07

dans  P(X=k)= qk-1.p     k commence à 1

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 15:17

ne comprends-tupas que dans

Citation :
\sum_{ \red z = i + j} P((X = i) \bigcap (Y = j)
il manque au départ  (Z = z) = comme je l'ai rajouté ensuite

et que donc la borne c'est z

ensuite
carpediem @ 27-10-2022 à 12:44

oui sauf que la borne sup est toujours fausse !

z est un entier naturel (non nul)
i est un entier naturel (non nul)

si tu veux i + j = z alors i varie de ... à ... ?

et donc il n'y a pas de k !!!


maintenant si tu as du mal prend par exemple z = 5 et écris tous les issues telles qu i + j = 5

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 15:53

P(Z=z)=\sum_{z = 1}^{i- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2}=p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{z = 1}^{i- 1} 1=p^2 (1 - p)^{z - 2}

ou je dois remplacer i-1 par z ? parce que si je fais ca je ne peux plus sortir le terme restant

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 19:12

ha mais il insiste !!!

c'est toi qui utilises implicitement la lettre z qui est une CONSTANTE et c'est i la variable d'indiçage !!!

P(Z=z)=\sum_{\red i = 1}^{\red z- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2}=p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{i = 1}^{z- 1} 1 = p^2 (1 - p)^{z - 2}

et le résultat final est faux

combien vaut \sum_{i = 1} {z - 1} 1 ?

essaie en prenant z = 5 par exemple ...

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 19:12

carpediem @ 27-10-2022 à 19:12

ha mais il insiste !!!

c'est toi qui utilises implicitement la lettre z qui est une CONSTANTE et c'est i la variable d'indiçage !!!

P(Z=z)=\sum_{\red i = 1}^{\red z- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2}=p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{i = 1}^{z- 1} 1 = p^2 (1 - p)^{z - 2}

et le résultat final est faux

combien vaut \sum_{i = 1}^{z - 1} 1 ?

essaie en prenant z = 5 par exemple ...

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 19:34

mais alors pourquoi vous ecrivez en borne superieur z-1 alors que j'ai ecrit i-1??????
Mais je suis desolé si vous mettez ca on ne peut plus calculer la somme sauf avec un changement d'indice

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 19:37

vous ne m'aidez pas du tout, je suis exactement au meme stade qu'hier
et je ne vois absolument pas le rapport avec votre somme de 1

S'il vous plait j'ai besoin de passer à autre chose

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 19:43

si je suis votre calcul
[tex]P(Z=z)=\sum_{\red i = 1}^{\red z- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2}=p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{i = 1}^{z- 1} 1 = p^2 (1 - p)^{z - 2} *(z-1)

mais c'est n'importe quoi on peut pas sortir p^2 (1 - p)^{z - 2}  alors que vous mettez z-1 en borne superieur

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 19:45

je suis vraiment desole mais si vous ne me donner pas la reponse pour comprendre j'abandonne

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 19:45

mais bon sang !!

tu veut calculer P(Z = z)   : voir ton premier post (énoncé et résolution)

et ce z constant est sous-entendu d'après ta première ligne latex

ensuite puisque Z = X + Y alors tu écris que P(Z = z) =  \sum_{i + j = z} P(X = i $ et $ Y = j) avec i + j = z et i et j non nuls

donc sachant que X et Y sont indépendantes alors P(Z = z) = \sum_ {i + j = z} P(X = i) P(Y = j) = \sum_{i + j = z} P(X = i) P(Y = z - i)

ne vois-tu pas que z est constant et que c'est i qui varie !!!

i = 1, 2, 3, ...., z - 2, z - 1

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 21:08

merci vous ne m'avez pas aidé

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 21:09

ca j'ai compris

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 21:10

c'est vous qui mettez z-1 en borne superieur

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 21:10

MATHISprepa @ 27-10-2022 à 19:43

si je suis votre calcul
[tex]P(Z=z)=\sum_{\red i = 1}^{\red z- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2}=p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{i = 1}^{z- 1} 1 = p^2 (1 - p)^{z - 2} *(z-1)

mais c'est n'importe quoi on peut pas sortir p^2 (1 - p)^{z - 2}  alors que vous mettez z-1 en borne superieur

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 21:12

moi je voulais mettre i-1 mais c'est ce que vous m'avez ecrit
s'il vous plait, aidez moi je peux pas comprendre snas la reponse vous voyer bien que je suis perdu

Posté par
Rintarore : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 21:25

Bonsoir, je réponds juste ce message en l'absence de carpediem.

Il me semble que tu as la tête dans le guidon MATHISprepa, il serait peut-être bien que tu repartes de zéro proprement au brouillon. Comme te le fait remarquer carpediem, tu confonds la variable de sommation (ici c'est i) et la borne supérieure de sommation (ici c'est z-1). En réalité, carpediem t'a écrit la réponse à une égalité finale près, je ne comprends pas pourquoi tu bloques.

La quantité sur laquelle on somme ne dépend pas du tout de i qui est la variable de sommation, tu vois bien qu'on peut alors sortir cette quantité de la somme. Comprends-tu ? Relis calmement les messages complets de carpediem, reprends tout ça au brouillon. Je sais que le rythme en prépa est difficile, mais si tu t'obstines comme ça, tu n'arriveras pas à tirer quelque chose de cet exercice et ce serait dommage.

Bonne soirée et bonne continuation

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 21:41

merci pour votre message
mais justement si cela depend de z-1 je ne peux justement pas sortir le tout de la somme et je ne peux donc pas la calculer car le (1-p) est à la puissance z-2
et donc pour moi :
P(Z=z)=\sum_{ i = 1}^{ z- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2} \neq p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{i = 1}^{z- 1} 1

Posté par
Rintarore : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 22:00

Je reprends l'indication de carpediem qui te demande le cas particulier pour z = 5 dans un autre contexte.

Je me fixe un réel q et je désire calculer :

\sum_{i=1}^5 q^5

Tu es d'accord pour dire que, même si l'entier 5 apparaît dans la somme en tant que borne supérieure, je somme uniquement sur i ? Autrement dit, la quantité  à l'intérieur de la somme qui doit dépendre UNIQUEMENT (dans le cas général !) de i ne dépend pas ici de 5, donc cette quantité peut sortir de la somme.

Ici c'est pareil, i part de 1, prend la valeur 2, etc ... jusqu'à z-1, je te l'accorde. Toutefois, vois-tu du i dans la quantité à sommer ? Même si la borne supérieure s'exprime en fonction de z, la quantité à sommer ne dépend pas du tout de ta variable de sommation i, même si tu as du z-1 qui n'est pas cette variable de sommation ! Fais bien cette différence entre la variable de sommation et la borne supérieure de sommation.

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 22:02

z est une constante donc p^2(1 - p)^{z - 2} est une constante indépendante de la variable de sommation i

\sum_i truc = truc \times \sum_i 1

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 22:07

merci beaucoup

Posté par
MATHISprepare : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 22:14

j'ai compris, merci
j'obtiens ca non ?

P(Z=z)=\sum_{ i = 1}^{ z- 1} p^2 (1 - p)^{z - 2} = p^2 (1 - p)^{z - 2}\sum_{i = 1}^{z- 1} 1=p^2 (1 - p)^{z - 2}*(z-1)

Posté par
carpediemre : SOMME de varaibles aleatoire reelles discretes 27-10-22 à 22:26

tout à fait ...


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