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Somme des (4k-2)/k(k²-1)

Posté par
Perelman13 23-11-22 à 11:23

Bonjour,  j'ai un peu de mal sur une somme qui suit :

\sum_{k=2}^{n}{\frac{4k-2}{k(k²-1)}}

Si quelqu'un a une petite indication je suis preneur.
merci.

bien à vous

Posté par
malou Webmasterre : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 11:37

Bonjour

as-tu pensé à une décomposition en éléments simples ?

Posté par
verdurinre : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 11:37

Bonjour,

\dfrac{4k-2}{k(k²-1)}=\dfrac{a}{k-1}+\dfrac{b}{k}+\dfrac{c}{k+1}

Posté par
Perelman13re : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 11:52

Je parviens assez facilement à ce résultat :

\frac{4k-2}{k(k²-1)}=\frac{2}{k²-1}+\frac{1}{k}+\frac{2}{k+1}
Mais avec \frac{2}{k²-1} je parviens pas à faire de télescopage ou de simplification.
J'ai peut être loupé quelque chose... ou bien que je suis aveugle....

Posté par
malou Webmasterre : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 11:58

je suppose que tu as fait une erreur de recopie
la première fraction a pour dénominateur k-1 et non k²-1

si c'est le cas vérifie toi, la décomposition n'est pas OK, donc ça se simplifie pas...

Posté par
Perelman13re : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 11:58

malou @ 23-11-2022 à 11:37

Bonjour

as-tu pensé à une décomposition en éléments simples ?


je ne sais pas ce qu'une un décomposition en éléments simples, donc non désolé

Posté par
malou Webmasterre : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 11:59

c'est ce qu'a écrit verdurin

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 17:16

Bonjour

On pourra aussi remarquer que :


\Large\boxed{\frac{4k-2}{k(k^2-1)}=\frac{3(k-1)+(k+1)}{k(k^2-1)}=\frac{3}{k(k+1)}+\frac{1}{k(k-1)}=...}

Posté par
carpediemre : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 21:03

salut

ou encore que

\dfrac {4k - 2} {k(k^2 - 1)} = 2 \dfrac {k + k - 1} {k(k^2 - 1)} = 2 \left( \dfrac 1{(k - 1)(k + 1)} + \dfrac 1 {k(k + 1)} \right) =...

Posté par
Perelman13re : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 23-11-22 à 22:29

Bonsoir à tous et à toutes,

j'ai finis par réussir en faisant apparaitre des sommes télescopiques, bon c'est un peu alambiqué mais j'ai peu de théorème aussi (que le changement de variable, et le télescopage) :

\sum_{k=2}^{n}{\frac{4k-2}{k(k²-1)}}=
=\sum_{k=2}^{n}{\frac{2k}{k(k-1)(k+1)}+\frac{2(k-1)}{k(k-1)(k+1)}}
=\sum_{k=2}^{n}{\frac{2}{(k-1)(k+1)}+\frac{2}{k(k+1)}}
=\sum_{k=2}^{n}{\frac{2}{k(k+1)}}+\sum_{k=2}^{n}{\frac{2}{(k-1)(k+1)}}=\sum_{k=2}^{n}{\frac{2}{k}-\frac{2}{k+1}}+\sum_{k=2}^{n}{\frac{k+1}{(k-1)(k+1)}+\frac{-(k-1)}{(k-1)(k+1)}}  =1-\frac{2}{n+1}+\sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}}=1-\frac{2}{n+1}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

=2,5-\frac{3}{n+1}-\frac{1}{n}


Je pose ça ici, peut être que ça aidera quelqu'un un jour, malgré le fait que j'ai très peu développé, à cause de mon niveau triste en latex, j'espère que ça reste compréhensible.

Bonne journée à vous.

Posté par
Razesre : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 24-11-22 à 06:37

Bonsoir,

Sinon la bonne et vielle méthode marche très bien et c'est plus élémentaire et plus claire.

\dfrac{4k-2}{k(k^2-1)}=\dfrac{4k-2}{k(k-1)(k+1)}=\dfrac{a}{k-1}+\dfrac{b}{k}+\dfrac{c}{k+1}\Leftrightarrow 4k-2=ak(k+1) +b(k-1)(k+1)+ck(k-1)
\Rightarrow \begin{cases} k=0 & b=2 \\ k=1 & a=1 \\ k=-1 & c=-3 \end{cases}

D'où: \dfrac{4k-2}{k(k^2-1)}=\dfrac{1}{k-1}+\dfrac{2}{k}-\dfrac{3}{k+1}

Posté par
carpediemre : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 24-11-22 à 09:46

une remarque : il est préférable de l'écrire ici :

\dfrac {4k - 2} {k(k^2 - 1)} = \dfrac 1 {k - 1} + \dfrac 2 k - \dfrac 3 {k + 1} = \left(\dfrac 1 {k - 1} - \dfrac 1 k \right) + \left( \dfrac 1 k - \dfrac 1 {k + 1} \right) + 2 \left( \dfrac 1 k - \dfrac 1 {k + 1} \right)

et là le télescopage vous pète à la figure ...

Posté par
lakere : Somme des (4k-2)/k(k²-1) 24-11-22 à 15:14

Bonjour,

  

Citation :
\cdots=2,5-\frac{3}{n+1}-\frac{1}{n}


qui est juste mais qu'il est plus agréable d'écrire sous la forme : \dfrac{(n-1)(5n+2)}{2n(n+1)}


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