Bonjour,

le théorème d'Al Kashi et le théorème des sinus n'ont rien à voir là dedans .
seul sert :
la somme des angles d'un triangle est de 180°.

nota : la proposition demandée n'est vraie que pour des quadrilatères convexes (non croisés)
et peut être généralisée à un polygone (non croisé) à n côtés, n quelconque, par la même méthode.

Bonjour
Peut être la réponse attendue est de demontrer la somme des angles d'un triangle est 180 degrés ?

ce qui est absurde sous cette forme ("après rappel des théorèmes machin") car les théorèmes d'Al-Kashi et des sinus utilisent implicitement (dans des propriétés nécessaires à leurs démonstrations) "la somme des angles d'un triangle"
sous forme des angles aigus complémentaires d'un triangle rectangle, utilisé partout dans les relations entre sinus et cosinus.

on ne peut donc pas les utiliser pour démontrer cette propriété : on tournerait en rond sans rien démontrer du tout et tout l'édifice s'écroulerait

quant à la démonstration élémentaire de "la somme des angles d'un triangle"
se reporter aux propositions d'Euclide (livre I, proposition 32) ou au cours de collège.

la figure clé est celle là :



les préalables sont la démonstration des angles alternes internes et correspondants formés par deux droites parallèles et une sécantes
(proposition 29 d'Euclide)

qui à son tour pour sa démonstration n'utilise que le postulat des parallèles, énoncé sous cette forme par Euclide :
si une sécante coupe deux droites en formant deux angles internes de somme inférieure à 180°, alors les deux droites sont sécantes

Je connaissais les angles alternes externes mais pas internes.

oups alternes internes mais pas internes

alias internes "du même côté"