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Somme des carrés des inverses des entiers naturels **

Posté par
Bcracker 09-04-07 à 21:21

Bonsoir,

Une question un peu difficile (mais interressante) qui me pose à moi-même des problèmes...

Savez-vous calculer cette somme :   4$\fbox{\sum_{k=1}^n\,\frac{1}{k^2}}

Problème ouvert...

@+

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 21:28

Bonjour Bcracker

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Kaiser

Posté par
infophilere : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 21:31

Bonjour

Le Capes d'analyse de cette année traite le sujet là, d'ailleurs ça me fait penser que j'ai pas terminé la partie intégrale, je l'avais promis à Cauchy

Posté par
Bcrackerre : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 22:38

Bonsoir tout le monde

bon je pense que ça depasse mon niveau, donc j'attendrait.
kaiser >

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Bcracker

Posté par
infophilere : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 22:48

Tiens jette un oeil ici \Longright Sujet CAPES ANALYSE 2007

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 22:57

\Large{\bigint_{0}^{\pi}(\frac{t^{2}}{2\pi}-t)\frac{\cos(\frac{nt}{2})\sin(\frac{nt}{2})}{\sin(\frac{t}{2})}dt}

Pour cela, il "suffit" de "remarquer" que \Large{\frac{1}{k^{2}}=\bigint_{0}^{\pi}(\frac{t^{2}}{2\pi}-t)\cos(kt)dt}

Kaiser

Posté par
infophilere : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 23:10

Heureusement que tu as mis les guillemets

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 23:25

eh oui, heureusement !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 23:33

j'adore !

Tu nous sors toujours des trucs Kaiser :D

Celui-là est pas mal quand même !

C'est vrai que ça se voit au premier coup d'oeil que :

\Large{\frac{1}{k^{2}}=\bigint_{0}^{\pi}(\frac{t^{2}}{2\pi}-t)\cos(kt)dt}



Bonne nuit ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 23:37

:D

je tiens tout de même à vous rassurer : ça ne vient absolument pas de moi. J'avais déjà rencontré ce truc auparavant.

Kaiser

Posté par
infophilere : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 23:38

Est-ce que tu peux développer un peu plus Kaiser ?

Faut faire quoi au juste ? Calculer l'intégrale ? Et faire apparaître la somme ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 23:38

J'oubliais : bonne nuit Romain !

Posté par
kaiser Moderateurre : Somme des carrés des inverses des entiers naturels ** 09-04-07 à 23:42

Kévin > étant donné que l'on a une expression plus sympa de \Large{\frac{1}{k^{2}}} (tout est relatif), on peut faire la somme de ces intégrales pour k variant entre 1 et n.
Cela revient à calculer \Large{\bigsum_{k=1}^{n}\cos(kx)} qui se calcule facilement en remarquant (cette fois, pas de guillemets ) que \Large{\cos(kx)=Re(e^{ikx})}.

Kaiser


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