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Niveau Maths sup
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Somme des cubes.

Posté par
jelneb
02-10-22 à 01:40

Bonsoir,
Mon énoncé est comme suit:

1-rappeler pourquoi, pour tout n>=1, on a la somme des cubes = le carré de la somme  des K ( facile à démontrer)

2- réciproquement, on se donne une suite (Xk), tel que K>=1 de réels strict positifs.(k est un indice de x)

On suppose que pour tout n>=1 on a
La somme des xk au cube ( de 1 à n) = le carré de la somme des xk

Montrer alors que pour tout entier k on a xk=k

Je vois l'idée et la logique dans cette question mais je ne sais point d'où commencer mon resonnement

Posté par
ty59847
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 08:22

Sur les suites, il y a un type de raisonnement qui revient assez régulièrement, le raisonnement par récurrence. Ici, c'est totalement adapté.

Posté par
malou Webmaster
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 09:33

Bonjour à tous les deux

jelneb, n'hésite pas à regarder cette page [lien]

cela t'aiderait à communiquer avec nous.


l'éditeur Latex entre autres est très facile à prendre en main

Somme des cubes.

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 11:47

Merci pour votre réponse !
Or, je ne vois point comment utiliser la récurrence afin de prouver que Xk=k

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 11:55

ty59847 @ 02-10-2022 à 08:22

Sur les suites, il y a un type de raisonnement qui revient assez régulièrement, le raisonnement par récurrence. Ici, c'est totalement adapté.
C'est bon je pense avoir saisi, j'utilise alors la récurrence sur Xk = k

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 12:00

Et je montre alors que Xk+1 = k+1 ?
Mais l'initialisation n'est pas vérifiée ?

Posté par
carpediem
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 13:23

salut

comment ça ?

il est évident que 1^3 = 1^2  ...

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 13:28

carpediem @ 02-10-2022 à 13:23

salut

comment ça ?

il est évident que 1^3 = 1^2  ...

J'applique le principe de récurrence sur quelle égalité ?
Car je n'ai pas X1 = 1

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 13:42

La but de la question 2 est de montrer la réciproque, c'est à dire :
Si on a une suite Xi (i>1) de réels strictement positifs. Tel que :

Pour tout n>1, on a :
\sum_{1}^{n}{x^3_i} = \left( \)\sum_{1}^{n}{x_i}\) )^2
(i est un indice de x)

Alors pour tout i ?N, on a xi = i

malou edit > ** pour écrire x_i on saisit x_i **

Posté par
verdurin
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 13:52

Bonjour,
\sum_{i=1}^1x_i=x_1

On a donc x_1^2=x_1^3.

Il reste à résoudre cette équation sachant que x_1>0.

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 14:10

verdurin @ 02-10-2022 à 13:52

Bonjour,
\sum_{i=1}^1x_i=x_1

On a donc x_1^2=x_1^3.

Il reste à résoudre cette équation sachant que x_1>0.

Je comprend pas comment cela me permettra de montrer que

[x][/i] = i

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 14:13

Mais comment cela me permettrai de montrer que :
Pour tout i>1
X_i = i

Posté par
carpediem
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 14:17

mais ça c'est l'initialisation !!

il faut ensuite montrer l'hérédité !!

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 14:18

carpediem @ 02-10-2022 à 14:17

mais ça c'est l'initialisation !!

il faut ensuite montrer l'hérédité !!

Je vois que c'est l'initialisation, mais je ne comprend pas votre résonnement.
Vous voulez appliquez la récurrence sur quelle relation ?

Posté par
carpediem
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 14:24

jelneb @ 02-10-2022 à 01:40

2- réciproquement, on se donne une suite (Xk), tel que K>=1 de réels strict positifs.(k est un indice de x)

On suppose que pour tout n>=1 on a
La somme des xk au cube ( de 1 à n) = le carré de la somme des xk

Montrer alors que pour tout entier k on a xk=k


qui se traduit par \forall n \in \N  :  \sum_0^n x_k^3 = \left( \sum_0^n x_k \right)^2

en fait on peut commencer à 0 si on veut même si l'énoncé commence à 1

PS : les cloches résonnent, les hommes raisonnent

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 14:30

Excusez moi, mais je n'arrive du tout pas à vous comprendre.

La relation que vous veniez de recopier est supposé, ce que je doit démontrer c'est que
X_i = i

Pour tout i entier.

Posté par
carpediem
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 15:05

non on suppose que

si (xn) est une suite de réels strictement positifs telle que \forall n \in \N^*  :  \sum_1^n x_k^3 = \left( \sum_1^n x_k \right)^2


alors \forall n \in \N^*  :  x_n = n

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 15:15

carpediem @ 02-10-2022 à 15:05

non on suppose que

si (xn) est une suite de réels strictement positifs telle que \forall n \in \N^*  :  \sum_1^n x_k^3 = \left( \sum_1^n x_k \right)^2


alors \forall n \in \N^*  :  x_n = n

Et donc J'applique la récurrence sur quelle égalité ?

Posté par
ty59847
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 15:52

Dans une démonstration par récurrence, la mécanique est toujours la même :
Enoncé : montrer que la propriété P est vraie pour tout n.
Solution : Vérifier que la propriété que cette propriété est vraie pour n=0
Puis supposer qu'elle est vraie pour une certaine valeur de n, et montrer qu'elle est vraie aussi pour n+1.

Ici, la propriété P dont on parle, c'est : pour tout n, si \Sigma_1^n x_k^3 = (\Sigma_1^n x_k)^2 alors tous les x_k sont égaux à k.

Tu n'appliques pas la récurrence à une égalité, mais à une propriété.

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 21:51

Salut,
Merci je pense avoir compris, dans ce cas l'hérédité se fera de n à n+1 ou de k à k+1?

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 21:56

Salut,
Merci je pense avoir compris, dans ce cas l'hérédité se fera de n à n+1 ou de k à k+1?

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 21:59

J'ai beau essayer, je n'y arrive pas, une petite aide sera la bienvenue.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 23:01

Bonsoir


Soit \left(x_n\right)_{n\geqslant1} une suite de réels strictement positifs vérifiant :


\Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~\sum_{k=1}^nx_k^3=\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)^2}. Alors \Large\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~x_n=n}.


La preuve peut se faire par une récurrence forte :


Initialisation : On a x_1^3=x_1^2 donc x_1=1.


Hérédité : Supposons que pour un certain n\geqslant1 on ait x_k=k pour tout k\in\{1,...,n\},


alors en écrivant \sum_{k=1}^{n+1}x_k^3=\left(\sum_{k=1}^{n+1}x_k\right)^2 on a \sum_{k=1}^nk^3~+~x_{n+1}^3=\left(\sum_{k=1}^nk~+~x_{n+1}\right)^2


et donc ~x_{n+1}^3=n(n+1)x_{n+1}~+~x_{n+1}^2 et donc \Large\boxed{x_{n+1}^2-x_{n+1}-n(n+1)=0}


qui est une équation du second degré facile à résoudre et on trouve bien \Large\boxed{x_{n+1}=n+1} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
jelneb
re : Somme des cubes. 02-10-22 à 23:38

C'est bon je l'avais déjà résolu, mais merci enormement pour votre réponse !

Posté par
carpediem
re : Somme des cubes. 03-10-22 à 19:18

en fait je pense qu'ici la difficulté et de formuler la proposition exacte à montrer

notons P(n) la propriété :

\forall m \le n  :  \sum_1^m x_k^3 = \left( \sum_1^m x_k \right)^2 \Longrightarrow \forall k \in [1, n]  :  x_k = k

ce me semble-t-il ...

et alors on a :

\sum_1^{n + 1} x_k^3 = \sum_1^n x_k^3 + x_{n + 1}^3 \underset {\red (1)} = \left( \sum_1^n k \right)^2 + x_{n + 1}^3 \underset {\red (2)} = \left(x_k + \sum_1^n x_k \right)^2 \underset {\red (3)} \Longrightarrow \left( \sum_1^n k \right)^2 + x_{n + 1}^3 \underset {\red (4)} = \left(x_k + \sum_1^n k \right)^2

le développement de l'égalité (4)  conduisant à l'avant dernière ligne du msg précédent de elhor_abdelali

(1) provient de l'hypothèse de récurrence
(2) provient de la définition de la suite
(3) voir (1)



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