Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Somme des diviseurs et diviseurs premiers

Posté par
pebble14 22-10-15 à 22:32

Bonsoir,

Je suis coincé sur cette question de spé maths :

Un entier naturel admet seulement deux diviseurs premiers distincts, le nombre total de ses diviseurs positifs est 6 et la somme de ces diviseurs est 28. Quel est ce nombre ?

J'ai écrit la liste de ses diviseurs sous la forme : D = (1, d2, d3, d4, d5, n ) avec n l'entier à trouver.
On a déjà 1 qui est un diviseur et on sait que d4 et d5 ne peuvent pas être l'autre diviseur premier car ils sont divisibles par d2 et d3.

Enfin, j'ai trouvé en cherchant différents n que n=12 ...

Faut-il utiliser la disjonction des cas pairs/impairs .... ( mais pas de règles avec les diviseurs donc pas très utile il me semble ... ) ou quelque chose d'autre pour déduire n de ses diviseurs ...

Auriez-vous des pistes ... ?

Merci !

Posté par
lakere : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 23-10-15 à 00:10

Bonsoir,

La décomposition en facteurs premiers d' un nombre N:

N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}

Le nombre de diviseurs de N est (a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1) (à démontrer éventuellement).

Ici, le nombre de diviseurs est 6. On en déduit que n=p_1p_2^2 où p_1 et p_2 sont 2 nombres premiers distincts à déterminer.

On a de plus:

1+p_1+p_2+p_2^2+p_1p_2+p_1p_2^2=28

(p_1+1)(p_2^2+p_2+1)=28

La seule possibilité (après avoir examiné les différentes décomposition de 28 en un produit de 2 facteurs) est:

p_1=3 et p_2=2

d' où n=3\times 2^2=12

Posté par
pebble14re : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 23-10-15 à 00:14

Merci beaucoup pour cette réponse très complète !

Posté par
lakere : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 23-10-15 à 00:25

Posté par
alainpaulre : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 23-10-15 à 09:57

Bonjour,


Un complément:

Le nombre 28 est dit "parfait" ,il est égal à la somme de ses diviseurs;
28=2^2\times (2^3-1)=2^2\times(2-1)(2^2+2+1)=1+2+4+7+14



Alain

Posté par
lakere : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 23-10-15 à 10:07

Bonjour,

Il est égal à la somme de ses diviseurs propres

Posté par
alainpaulre : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 23-10-15 à 10:16

Oui,

si l'on prend en plus le nombre lui-même,ça marche moins bien!

Alain

Posté par
lakere : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 23-10-15 à 10:28

Je viens de voir ceci:

Citation :
Ici, le nombre de diviseurs est 6. On en déduit que n=p_1p_2^2 où p_1 et p_2 sont 2 nombres premiers distincts à déterminer.


C' est faux: une autre possibilité: n=p_1^5 a aussi 6 diviseurs.

Mais l' énoncé indiquait:

Citation :
Un entier naturel admet seulement deux diviseurs premiers distincts


Donc tout va bien malgré mon erreur...


Posté par
roxkulbure : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 25-10-15 à 18:44

Bonjour,

Comment serait-il possible de resoudre ceci sans les formules ci dessus ? ( non vues en cours pour moi )

Y aurait il un moyen de tester avec plusieurs diviseurs que l'on sait premiers, sachant que la somme est égale a 28 ?

Merci

Posté par
lakere : Somme des diviseurs et diviseurs premiers 25-10-15 à 18:59

Bonjour,

L' énoncé indiquait:

Citation :
Un entier naturel admet seulement deux diviseurs premiers distincts


Pas besoin de formules; on sait que:

N=p_1^ap_2^b avec p_1 et p_2 premiers et a et b non nuls.

  Les diviseurs de N sont d=p_1^i\times p_2^j avec 0\leq i\leq a et 0\leq j\leq b

Je pense qu' il est clair qu' il y en a (a+1)(b+1)

Il reste ensuite à résoudre l' équation (a+1)(b+1)=6 en entiers strictement positifs.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !