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Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 12:21

Nota : Il faudra quand même faire attention à voir ce qui se passe quand \; n < 3 .
Pas de 111

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 12:31

Merci beaucoup pour ton aide Sylvieg normalement pour 1 et 2 on obtiendrait
(n-1)! Je vais voir le cas avec n<3

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 12:34

"Je ne vais plus être disponible un moment."
Pas de soucis

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 13:27

Avec n = 3 , pour 1 et 2, voici les nombres codés :
012, 021, 102, 102, 120, 210.
Non codés : 12, 21, 102, 102, 120, 210.
Leur nombre n'est pas \; 2! .

Avec n = 4 :
0012 , 0021 , 0102 , 0201 , 0120 , 0210 , 1200 , 2100 , 1020 , 2010 , 1002 , 2001 .
Leur nombre n'est pas \; 3! .

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 13:32

Du coup ça serait tout simplement n! Mais avec des cas particuliers pour n=1 et 2 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 13:34

Tu vas trop vite pour les nombres avec un 1 un 2.

Les cas n = 1 et n= 2, je n'ai pas regardé ; mais ça ne doit pas être très compliqué.
Je me demande si tu ne l'as pas traité au début.

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 13:45

Ok je regardai ça aux alentours de 18h je dois te laisser pour l'heure je vais avoir cours ( par visio )
Merci pour ton aide en tout cas.

Posté par
lafol Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 15:40

Sylvieg @ 16-03-2020 à 12:02

Pourquoi veux-tu les enlever ?
C'est un codage : 01101 représente 1101. Il n'y a pas de 0 inutile.
1101 n'est compté qu'une fois par cette méthode.


on retombe dans son erreur du début : on compte ainsi directement tous les nombres à au plus 5 chiffres, alors qu'il était parti pour dire un seul nombre à trois chiffres, trois à quatre chiffres, etc et additionner le tout

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 19:25

Oui c'était ma grosse erreur au début je n'avais pas remarqué que de cette manière je comptais les même cas.

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 21:07

Pour les cas avec les chiffres 1 et 2  je crois avoir trouvé :

Sylvieg @ 16-03-2020 à 13:27


Avec n = 4 :
0012 , 0021 , 0102 , 0201 , 0120 , 0210 , 1200 , 2100 , 1020 , 2010 , 1002 , 2001 .
Leur nombre n'est pas  \; 3! .


En reprenant ton cas, où il y a au total 4 chiffre max c'est comme si on prenait on devait associer le chiffre 1 parmi les 4 places disponible " _ _ _ _"
Puis le chiffre 3 parmi les 3 places disponibles car il y à alors 1 possibilité en moins a cause de 1 c'est a dire (1 parmi 4)*(1 parmi 3) qui nous donne bien 12

En généralisant à n on a n\choose 1 ×n-1\choose 1

C'est-à-dire n(n-1) possibilité

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 21:08

Plus tôt j'avais énoncé n! Ou (n-1)! À cause des deux premier cas.

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 21:33

J'ai la formule général : il existe  pour des entiers à n chiffres, : n + n\choose 3 + n(n-1)  possibilité.
La formule marché en plus pour les premiers cas

Pour n=1 il y a 1 possibilité (3)
1+ 1\choose 3 +1×0=1

Pour n=2 : 4 possibilité (3,21,12,30) et ça marche encore.

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 16-03-20 à 21:33

Enfin je pense

Posté par
XZ19re : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 00:05

Vu que l'énoncé de donne la réponse, une première chose à faire c'est de vérifier que ton résultat est bon.

Posté par
XZ19re : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 00:05

te donne

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 08:18

Bonjour,
Oui, et peut-être commencer par simplifier \; n+\begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix}+n(n-1) .

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 13:40

Ça marche j'ai retrouvé la même chose que n+2\choose 3

Merci tout le monde

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 13:41

Maintenant il ne reste plusieurs qu'a comprendre la signification de n+2\choose 3

Posté par
XZ19re : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 14:57

Et bien j'ai quasiment donné la démonstration dans un message de 22:40...

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 19:33

Ah d'accord mais pourquoi on à n+2 possibilité ?

Posté par
XZ19re : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 20:02

XZ19 @ 15-03-2020 à 22:40

Bonjour  


n  étant fixé, à chaque nombre d'au plus n  chiffres  tu  peux  lui associer de façon bijective  un nombre d'au plus   n+2  de chiffres qui contient exactement   trois  1.  (Je te laisse voir  comment faire).  Ce qui explique que la réponse  est bien binomial(n+2,3).  
  



J'explique sur un  exemple    la  bijection  :   avec n=  4

premier  cas:   il n'y  a que des 1    exemple         1 0 0  1 ---> 1  0 0  1  0   0

deuxième  cas :      on  a  un    1 et  un  2

exemple   :        1  0 2 0 ---> 1 0 1 0  0   1    
                               mais si    on  a  0   2  1  0 ---> 0  1  1  0  1  0

troisième  cas  :     un seul trois :   je  te laisse finir....      

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 20:40

Heu...
J'ai du mal

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 21:51

Heu moi aussi
Comment fait tu t'es application
Si je prend n=4 avec 3 je peux dire par exemple

0 3 0 0 --> 0 1 1 0 0 1

On peut faire au hasard mais juste avec 6 chiffre au maximum pour n=4 ?

Posté par
lafol Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 17-03-20 à 22:47

on peut voir chaque chiffre comme un casier qui peut recevoir zéro, un , deux ou trois jetons
un casier vide = 0
un casier avec un jeton = 1
un casier avec deux jetons = 2
un casieravec trois jetons = 3

comme on veut que la somme des chiffres donne trois, on ne distribue que trois jetons en tout dans les casiers

pour compter facilement, on dessine des | pour les cloisons entre les casiers, et0 pour les jetons

ainsi si on s'intéresse aux nombres à au plus 5 chiffres, 12 sera représenté par |||0|00
10011 sera représenté par 0|||0|0 et ainsi de suite

pour les cloisons on en a une de moins que de casier
on se retrouve à chercher de combien de manières on peut placer les trois 0 parmi les (n-1)+3 emplacements pour soit des | soit des 0

Posté par
XZ19re : Somme des entiers naturels qui font donne 3 18-03-20 à 07:34

Sylvieg @ 17-03-2020 à 20:40

Heu...
J'ai du mal
ElMustang @ 17-03-2020 à 21:51

Heu moi aussi


Bonjour
Désolé, mais pourtant je pensais que mon exemple est assez parlant et je parle de "bijection". Alors je  donne la solution    Soit E_n  l'ensemble  des nombres du problèmes  et  F_{n+2}  l'ensemble des nombres qui contiennent au plus n+2 et constitué des de trois  "1" exactement  et le reste de "0".    
Evidemment une autre démonstration de l'exercice consiste à voir que E_n et F_{n+2} sont en bijection.  Admettons le pour l'instant que cela soit le cas alors  
card (E_n) = card (F_{n+2})=binomial(n+2,3)  et c'est terminé.

Maintenant voici la bijection que je propose.  Je la désigne par f:

Soit   x\in F_{n+2}  

Premier cas :    si les 2 derniers chiffres de droite de x  sont deux  "0", je les supprimes    
le nombre obtenu  y=f(x) est dans E_n  

exemple  avec  n=4  (donc n+2=6)  :
x= 1 0 1 1| 0 0   alors  y=f(x)=1 0 1 1

Deuxième  cas :
sous cas 1)   si   les 2 derniers chiffres de droite de x  sont  "0 1 "  je les supprimes et je remplace le deuxième "1" en partant de la gauche par  "2"  ce qui donnent y=f(x)  dans E_{n}
exemple x= 1 0 1 0| 0  1   alors  y=f(x)=1 0 2 0 \in E_n
là j'espère que vous avez compris  je finis avec les exemples
sous cas 2)    x=1 0 1 0 | 1 0   et y=  2 0 1 0  \in E_n

Troisième cas :    x=  1 0   0  0 | 1 1    je vous laisse deviner f(x)...  

Et c'est facile devoir que f est une bijection

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 18-03-20 à 08:07

Bonjour,
Utiliser 0 pour coder les jetons ne me semble pas une bonne idée.
Le chiffre 0 se partage alors entre 2 significations dans "1 0 2 0 ---> 1 0 1 0 0 1" ou "10011 sera représenté par 0|||0|0"
Pourquoi ne pas utiliser j ? Ça donnerait ceci :
10011 sera représenté par j | | | j | j
12 sera représenté par | | | j | j j

Citation :
Pour les cloisons on en a une de moins que de casier
on se retrouve à chercher de combien de manières on peut placer les trois j parmi les (n-1)+3 emplacements de cloisons
En l'écrivant ainsi, j'ai fini par comprendre quelque chose après un bon moment !

J'essaye d'expliciter mon cheminement de compréhension avec n = 5
On part de 7 cloisons : | | | | | | |
En remplaçant 3 de ces cloisons par des j, on obtient par exemple j | | | j | j
qui représente 10011.
Dans l'autre exemple, | | | j | j j, il faut regarder le vide dans le casier à gauche de la première cloison pour obtenir 00012.
Pour représenter 00300, on aurait \; | | j j j | | \; ?
Il y a un casier à gauche de la première cloison, et un casier à droite de la dernière cloison, sauf si ces cloisons sont remplacés par un\; j ?

Dans le cas général, on part de n+2 cloisons ; en en remplaçant 3 par des jetons, il en reste n-1.
D'où n casiers en considérant qu'il y a un casier à gauche de la 1ère cloison et un casier à droite de la dernière.
C'est bien ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 18-03-20 à 08:10

Bonjour XZ19,
J'ai mis un bon moment à réfléchir sur le message de lafol et à répondre.
Je n'avais pas vu le tien.
Je vais le regarder.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 18-03-20 à 08:17

Je rectifie :

Citation :
Il y a toujours un casier à gauche de la première cloison, et un casier à droite de la dernière cloison (qu'il soit vide ou pas).
C'est ça que j'avais du mal à appréhender.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 18-03-20 à 08:25

Trop compliquée pour moi ta bijection

Posté par
lafol Moderateurre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 18-03-20 à 16:29

pour moi il y a n-1 cloisons et 3 jetons (vrai que 0 était maladroit, en plus je les tapais en pensant o qui fait plus jeton visuellement)
donc n+2 "choses" à répartir comme on veut, dans n+2 emplacements indifférenciés qui pourront recevoir soit un jeton soit une cloison
on choisit soit où on place les n-1 cloisons, soit où on place les 3 jetons, ça revient au même : de toutes façons les autres seront dans les emplacements restants

Posté par
ElMustangre : Somme des entiers naturels qui font donne 3 18-03-20 à 18:50

D'accord merci beaucoup tout le monde pour votre aide

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