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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Somme des espaces propres

Posté par
Rana
12-04-22 à 12:02

Bonjour,
Soit A une matrice de taille n. A n'est pas nécessairement diagonalisable.
On note par E_{\lambda}(A) ses espaces propres.
A-t-on \sum_{\lambda\in Sp(A)}E_{\lambda}(A)=\mathbb R^n ?
(Je ne parle pas de somme directe.)
Merci d'avance !

Posté par
lionel52
re : Somme des espaces propres 12-04-22 à 12:29

Hello ! La somme est toujours directe.
Par contre si tu as ton égalité alors ça signifie exactement que A est diagonalisable

Posté par
Rana
re : Somme des espaces propres 12-04-22 à 12:47

Merci !

Posté par
Sugaku
re : Somme des espaces propres 12-04-22 à 12:50

Salut, je me glisse ici afin d'ajouter un contre-exemple simple lorsque A n'est pas diagonalisable.

Si A désigne la matrice nilpotente \begin{pmatrix}{0 & 1 \\ 0 &0} \end{pmatrix} alors Sp(A)=\{0\} et E_0(A)=\text{Vect} \begin{pmatrix}{1 \\ 0} \end{pmatrix} . Donc \bigoplus_{\lambda \in Sp(A)}E_{\lambda}(A) = E_0(A)=\text{Vect} \begin{pmatrix}{1 \\ 0} \end{pmatrix}  \neq \R^2

Et le contre-exemple ce prolonge à l'ordre n en considérant ou bien \begin{pmatrix}{0 & \ldots & 0& 1  \\ \vdots & \ddots & & 0 \\ \vdots & &\ddots & \vdots  \\ 0 & \ldots & \ldots & 0} \end{pmatrix} ou bien \begin{pmatrix}{0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0& 0& 0 & \ldots & 0 \\ 0&0&0&\ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0} \end{pmatrix}. Dans les deux cas on obtient un hyperplan de \mathbb{R}^n (sev de dimension n-1) et donc différent de \mathbb{R}^n.

Posté par
Rana
re : Somme des espaces propres 12-04-22 à 13:03

Merci ^^



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