Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Somme des espaces propres

Posté par
Rana 12-04-22 à 12:02

Bonjour,
Soit $A$ une matrice de taille $n$ . $A$ n'est pas nécessairement diagonalisable.
On note par $E_{\lambda}(A)$ ses espaces propres.
A-t-on $\sum_{\lambda\in Sp(A)}E_{\lambda}(A)=\mathbb R^n$ ?
(Je ne parle pas de somme directe.)
Merci d'avance !

Posté par re : Somme des espaces propres 12-04-22 à 12:29

Hello ! La somme est toujours directe.
Par contre si tu as ton égalité alors ça signifie exactement que A est diagonalisable

Posté par re : Somme des espaces propres 12-04-22 à 12:47

Merci !

Posté par re : Somme des espaces propres 12-04-22 à 12:50

Salut, je me glisse ici afin d'ajouter un contre-exemple simple lorsque $A$ n'est pas diagonalisable.

Si $A$ désigne la matrice nilpotente $\begin{pmatrix}{0 & 1 \\ 0 &0} \end{pmatrix}$ alors $Sp(A)=\{0\}$ et $E_0(A)=\text{Vect} \begin{pmatrix}{1 \\ 0} \end{pmatrix}$ . Donc $\bigoplus_{\lambda \in Sp(A)}E_{\lambda}(A) = E_0(A)=\text{Vect} \begin{pmatrix}{1 \\ 0} \end{pmatrix} \neq \R^2$

Et le contre-exemple ce prolonge à l'ordre $n$ en considérant ou bien $\begin{pmatrix}{0 & \ldots & 0& 1 \\ \vdots & \ddots & & 0 \\ \vdots & &\ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & \ldots & 0} \end{pmatrix}$ ou bien $\begin{pmatrix}{0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0& 0& 0 & \ldots & 0 \\ 0&0&0&\ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0} \end{pmatrix}$ . Dans les deux cas on obtient un hyperplan de $\mathbb{R}^n$ (sev de dimension $n-1$ ) et donc différent de $\mathbb{R}^n$ .

Posté par re : Somme des espaces propres 12-04-22 à 13:03

Merci ^^

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