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Niveau seconde
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somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss

Posté par
pitch
06-09-09 à 17:12

1.) On veut calculer la somme S des 100 premiers nombres entiers :
     S= 1+2+3...+99+100

    Pour cela, l'idée du jeune gauss a été d'obtenir une autre écriture de S en inversant l'ordre des termes : S=100+99+...+3+2+1
    Puis il a ajouté membres à membres les deux égalités pour trouver une autre écriture de S.

     Démontrer ainsi que S=(100*101)/2


2.) En utilisant la même méthode, démontrer que :
     1+2+3+4+...+(n-1)+n=[n(n+1)]/2 où n est un entier naturel

Si vous pouviez m'aider je serais très content. Merci d'avance.

Posté par
otto
re : somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss 06-09-09 à 17:14

Bonjour,
où bloques tu ?
On te demande d'écrire les nombres de 1 à 100 sur une ligne
1+2+3+...+99+100
et la même chose sur la ligne du dessous mais en commençant par la fin
100+99+...+3+2+1

tu vas avoir
1+2+3+...+99+100
100+99+...+3+2+1

maintenant si tu fais la somme des deux lignes, tu trouves
101+101+101+...+101 = ?

Posté par
pitch
re : somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss 06-09-09 à 17:24

Il faut que je calcule cette liste de nombres mais cela fera beaucoup plus que 101 !
Je comprends pas vraiment !

Posté par
otto
re : somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss 06-09-09 à 17:31

101 c'est 100+1 c'est aussi 99+2, c'est aussi 98+3 etc
j'ai sommé sur les colonnes de chiffres, ce qui donne toujours 101, mais il faut sommer tous les 101 que l'on a retrouvé.

En gros tu peux voir ca ainsi
1+2+3+...+99+100 + 1+2+3+...+100
tu peux combiner le 1 en gras avec le 100 souligné, tu trouves 101
tu peux combiner le 2 en gras avec le 99 souligné, tu trouves encore 101
tu peux combiner le 3 en gras avec le 98 souligné, encore 101

tu vas trouver 101+101+101+...+101

combien de fois il y'a de 101 ? Il y'en a exactement 100.
La somme vaut donc 101*100.

Ce n'est pas exactement celle que l'on cherche, nous on cherchait juste 1+2+...+100 et la on vient de la calculer 2 fois, donc la somme recherchée est 101*100/2.

Posté par
pitch
re : somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss 06-09-09 à 17:39

donc si je marque ça ça me le démontre ?

et pour le petit 2.) ?

Posté par
otto
re : somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss 06-09-09 à 17:42

Pour le 2 c'est la meme chose, tu changes juste 100 pour n.

Posté par
pitch
re : somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss 06-09-09 à 18:04

et pour le 2 comment on fait ??

Posté par
otto
re : somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss 06-09-09 à 18:08

Je viens de te le dire.

Posté par
pitch
re : somme des nombres premiers entiers par la méthode de Gauss 06-09-09 à 18:24

je te remercie bien !

Posté par
feriel
les ensembles de nombres 08-09-09 à 17:48

calculer 1/2 +1/3+1/3 , en déduire sans calcul la valeur de 1/4 + 1/6 + 1/12
trouver quatre entiers naturels a , b , c , d et edistincts tels que 1/a+1/b+1/c+1/d =1
trouvers cinq entiers naturels a, b , c , d et e distincts tels que 1/a +1/b+1/c+1/d +1/e= 1
Si vous pouviez m'aider je serais très content. Merci d'avance.



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