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Somme des premiers cosinus/sinus

Posté par
Longipte
16-02-16 à 15:33

Bonjour à tous !
Je bloque sur cette question d'un DM. Voici l'énoncé :

Pour tout entier naturel n et pour tout nombre réel x, on note ;
Cn(x)= cos(kx)     et
Sn(x)= sin(kx)       pour k allant de 0 à n dans les deux cas.

En formant la somme Cn(x)+iSn(x), trouver deux formules permettant d'exprimer le plus simplement possible Cn(x) et Sn(x) en fonction de n et de x.

J'avais commencé en exprimant la somme de Cn(x) et iSn(x) mais quand je factorisais je trouvais deux suites géométriques de raison cos(x) ou sin(x) et de premier terme 1. Après j'appliquais la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique.

Cependant je pense avoir faux puisque ce que j'ai fait me semble un peu trop rapide et facile, je pense être passé à cote de quelque chose.

J'attends vos réponses et votre aide !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 15:52

Bonjour

ah bon tu trouves que cos(x), cos(2x), cos(3x) ... c'est une suite géométrique ???

l'astuce est ici de passer par les formes exponentielles
cos(a) + i*sin(a) = eia

et là tu auras bien ta suite géométrique
mais de raison eix

tu en calcules la somme "comme d'hab" (que cette raison soit un nombre dans C ne change rien)
et ensuite tu reviens à la forme en cos(b) + i*sin(b)
pour obtenir, en séparant partie réelle et partie imaginaire, les expressions de chacune des sommes cherchées.

Posté par
Longipte
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 16:04

Bonjour, on fait donc le calcul des premiers termes d'une suite géométrique avec eix comme raison. Mais quel est le premier terme ? J'aurais dis 1 mais je ne suis pas bien sur...

De plus, je ne vois pas bien comme séparer les parties imaginaires et réeles dans ce cas là. J'aurais tendance à dire :
Cn(x)=(1-(cos(x)n+1))/(1-cos(x)) et la même chose avec les sinus mais je trouve cela bizarre...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 16:23

Mais quel est le premier terme ?? oui le premier terme de la suite géométrique en exponentielles complexes est bien (eix)k pour k = 0, donc A0 = 1

on calcule la somme des termes sous forme d'exponentielle
on traduit "mot à mot" en cosinus et sinus

on multiplie par le conjugué du dénominateur, et on développe pour séparer partie réelle et partie imaginaire
vraiment en faisant vraiment ce développement
sans s'amuser à écrire des bêtises "de tête au pif sans écrire explicitement les calculs"...

(A+iB)/(C+iD) n'est pas du tout la même chose que A/C + i B/D

on multplie les deux termes de la fraction par C-iD :

(A+iB)(C-iD)/(C²+D²) = (AC+BD)/(C²+D²) + i (BC-AD)/(C²+D²)

partie réelle (Cn) = (AC+BD)/(C²+D²)
partie imaginaire (Sn) = (BC-AD)/(C²+D²)

pas A/C et B/D !!

Posté par
Longipte
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 16:28

Je ne comprends pas ce que sont A,B,C et D dans vos calculs

Posté par
mathafou Moderateur
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 16:51

des fatras de sinus et cosinus.
après tout c'est tout de même à toi de faire les calculs de l'exo et je ne vais pas te les écrire in extenso

mes A,B,C,D sont "des expressions en général", des nombres réels quelconque pour faire un calcul en général de séparation de la partie réelle et imaginaire dans le cas général d'une fraction,
ce qui est bien ce qu'on obtient avec la formule de la somme de la suite géométrique : une fraction de deux nombres complexes

mais encore faudrait il les faire et pas les imaginer ces calculs ...
(en détail)

Posté par
Longipte
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:04

Le problème est que je fais les calculs mais je bloque...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:16

sans montrer les détails des calculs que tu fais
- on ne sait pas lesquels exactement
- on ne sait pas ce qui pourrait te bloquer dedans
- on ne sait pas s'ils sont justes ou faux et si faux quelle pourrait être l'erreur qui aboutit donc à ce blocage ...

la seule chose que tu donnes est un résultat final "visiblement faux", toi même en conviens.

Posté par
Longipte
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:23

Je suis bloqué à :
(1-(cos(x)+isin(x))n+1))/(1-cos(x)+isin(x))
J'ai essayé de multiplier par le conjugué du dénominateur mais je ne vois pas comment faire avec la puissance n+1

Posté par
Glapion Moderateur
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:32

n'oublie pas qu'il y a la formule de Moivre (cos a + i sin a)n = cos(na)+isin(na)
et tu n'auras plus d'ennuis avec la puissance n+1

Posté par
Longipte
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:39

Je peux donc écrire que (cos(x)+isin(x))n+1=cos(n+1*x)+isin(n+1*x) ? Si oui je comprends l'utilité de la formule de Moivre sinon je ne vois pas en quoi ça aide...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:41

oui, ou si on avait mis les bons trucs dans l'exponentielle avant de la ramener en sinus cosinus


1 - \left(e^{ix}\right)^n = 1 - e^{inx} = 1 - \cos(nx) - i\sin(nx)
 \\
ce qui soit dit en passant est la démonstration de la formule de De Moivre

(le mathématicien il s'appelle "de Moivre" pas "Moivre" et donc sa formule est la formule de De Moivre )

en quoi ça aide ????
bien il n'y a plus de puissances dans cette formule !!
et donc séparer les parties réelles et imaginaires de ça va être facile !!

Posté par
lake
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:41

Bonjour,

Si x\not=2K\pi

C_n(x)+iS_n(x)=\dfrac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}

Tu mets e^{i(n+1)\frac{x}{2}} en facteur au numérateur

  et e^{i\frac{x}{2}}  en facteur au dénominateur.

Posté par
Longipte
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:51

Quand je pose le calcul, à un moment je me retrouve avec :
...+cos((n+1)*x)*cos(x)+...
Comment je peux simplifier ce calcul ?

Posté par
LeDino
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 17:52

Citation :
le mathématicien il s'appelle "de Moivre" pas "Moivre" et donc sa formule est la formule de De Moivre

Peut-être mais tout le monde dit "la formule de Moivre" .
Même Wikipédia, qui précise qu'elle est du mathématicien "de Moivre".

Posté par
LeDino
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 18:03

Jean de La Fontaine... a écrit les fables de La Fontaine.
... pas les fables de de La Fontaine.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 18:08

comment simplifier cos((n+1)*x)*cos(x) ?

tu peux utiliser la formule, "bien connue" de trigo
cos(a)cos(b) = (cos(a-b) + cos(a+b))/2

sinon il est fort possible que l'idée de lake évite cette étape intermédiaire

sinon ça te choque de le laisser écrit cos((n+1)*x)*cos(x) ?

Posté par
Longipte
re : Somme des premiers cosinus/sinus 16-02-16 à 18:14

Personnellement ça ne me choque pas mais comme on demande la forme la plus simplifier possible

Posté par
lake
re : Somme des premiers cosinus/sinus 17-02-16 à 09:24

En gardant les formes exponentielles le plus tard possible:

Pour x\not=2p\pi:

\large C_n(x)+i\,S_n(x)=\sum_{k=0}^ne^{ikx}=\dfrac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}=\dfrac{e^{i(n+1)\frac{x}{2}}(e^{i(n+1)\frac{x}{2}}-e^{-i(n+1)\frac{x}{2}})}{e^{i\frac{x}{2}}(e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}})}

\large C_n(x)+i\,S_n(x)=\dfrac{2i\,\sin\,\frac{(n+1)x}{2}}{2i\,\sin\,\frac{x}{2}}\,e^{i\frac{nx}{2}}

\large C_n(x)+i\,S_n(x)=\dfrac{\sin\,\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\,\frac{x}{2}}\,\left(\cos\,\frac{nx}{2}+i\,\sin\,\frac{nx}{2}\right)

\large C_n(x)+i\,S_n(x)=\dfrac{\sin\,\frac{(n+1)x}{2}\,\cos\,\frac{nx}{2}}{\sin\,\frac{x}{2}}+i\,\dfrac{\sin\,\frac{(n+1)x}{2}\,\sin\,\frac{nx}{2}}{\sin\,\frac{x}{2}}

Posté par
alainpaul
re : Somme des premiers cosinus/sinus 17-02-16 à 09:53

Bonjour,


Les outils sont transmis aux  élèves de terminale :formule de De Moivre,somme géométrique.
Juste une question de niveau : cet exercice ,terminale  S,spé math ,math sup?


Alain

Posté par
lake
re : Somme des premiers cosinus/sinus 17-02-16 à 10:01

Bonjour,

Les TS ont tous les outils pour le faire; c' est de niveau TS hors spé pour moi.  

Après, quel pourcentage de TS est capable de le faire, c' est une autre question

Posté par
mdr_non
re : Somme des premiers cosinus/sinus 17-02-16 à 10:34

bonjour : )

Sans passer par les complexes :

\large \boxed{*}  C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos\left (k\theta\right )  \Rightarrow \sin\left (\frac{\theta}{2}\right )C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos\left (k\theta\right ) \sin\left (\frac{\theta}{2}\right ) 
 \\ 
 \\ \sin\left (\frac{\theta}{2}\right )C_n = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} \left (\sin\left ((k + \frac{1}{2} )\theta \right ) - \sin\left ((k - \frac{1}{2})\theta \right )\right )  \text{Voir } ^{(1)}
 \\ 
 \\ \sin\left (\frac{\theta}{2}\right )C_n = \frac{1}{2} \left (\sin\left ((n + \frac{1}{2})\theta\right ) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right )\right )  \text{Voir } ^{(2)}
 \\ 
 \\ \sin\left (\frac{\theta}{2}\right )C_n = \sin\left (\frac{n + 1}{2}\theta\right )\cos\left (\frac{n}{2}\theta\right )  \text{Voir } ^{(3)}
 \\ 
 \\ \boxed{C_n = \frac{\sin\left (\frac{n + 1}{2}\theta\right )\cos\left (\frac{n}{2}\theta\right )}{\sin\left (\frac{\theta}{2}\right )}}
 \\ 
 \\ 
 \\ 
 \\ ^{(1)}   \cos a \sin b = \frac{1}{2}\left ( \sin(a + b) - \sin(a - b) \right )
 \\ ^{(2)}   \sum_{k=0}^{n} u_{k+1} - u_{k} = u_{n+1} - u_{0}
 \\ ^{(3)}   \sin a + \sin b = 2\sin\left(\frac{a + b}{2}\right)\cos\left(\frac{a - b}{2}\right)
 \\

Posté par
mdr_non
re : Somme des premiers cosinus/sinus 17-02-16 à 10:58

\large \boxed{*}  S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin\left (k\theta\right )  \Rightarrow \sin\left (\frac{\theta}{2}\right )S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin\left (k\theta\right ) \sin\left (\frac{\theta}{2}\right ) 
 \\ 
 \\ \sin\left (\frac{\theta}{2}\right )S_n = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n} \left (\cos\left ((k - \frac{1}{2} )\theta \right ) - \cos\left ((k + \frac{1}{2})\theta \right )\right )  \text{Voir } ^{(1)}
 \\ 
 \\ \sin\left (\frac{\theta}{2}\right )S_n = \frac{1}{2} \left (\cos\left(\frac{\theta}{2}\right ) - \cos\left ((n + \frac{1}{2})\theta\right )\right )  \text{Voir } ^{(2)}
 \\ 
 \\ \sin\left (\frac{\theta}{2}\right )S_n = \sin\left (\frac{n + 1}{2}\theta\right )\sin \left (\frac{n}{2}\theta\right )  \text{Voir } ^{(3)}
 \\ 
 \\ \boxed{S_n = \frac{\sin\left (\frac{n + 1}{2}\theta\right )\sin\left (\frac{n}{2}\theta\right )}{\sin\left (\frac{\theta}{2}\right )}}
 \\ 
 \\ 
 \\ 
 \\ ^{(1)}   \sin a \sin b = \frac{1}{2}\left ( \cos(a - b) - \cos(a + b) \right )
 \\ ^{(2)}   \sum_{k=0}^{n} u_{k} - u_{k+1} = u_{0} - u_{n+1}
 \\ ^{(3)}   \cos a - \cos b = -2\sin\left(\frac{a + b}{2}\right)\sin\left(\frac{a - b}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{a + b}{2}\right)\sin\left(\frac{b - a}{2}\right)
 \\


Pour finir : \large \boxed{C_n(\theta) + iS_n(\theta) = \frac{\sin\left (\frac{n + 1}{2}\theta\right )}{\sin\left (\frac{\theta}{2}\right )}\left(\cos\left(\frac{n}{2}\theta\right) + i\sin\left(\frac{n}{2}\theta\right)\right)}}

Posté par
Longipte
re : Somme des premiers cosinus/sinus 18-02-16 à 18:53

Rebonjour, et merci beaucoup pour vos réponses, je n'ai pas encore eu le temps de me replonger dans l'exo et retenter mes calculs
Pour information, je ne suis pas en spécialité math

Posté par
remyTPN
re : Somme des premiers cosinus/sinus 02-05-21 à 18:39

n est entier naturel supérieur ou égal à 2.
En lien avec le même exercice : Application : Démontrer que sin(/n)+sin(2/n)+...sin((n-1)*/n)=1/tan(pi/2n)

Avez-vous une idée ?

Posté par
malou Webmaster
re : Somme des premiers cosinus/sinus 02-05-21 à 18:47

bonjour

c'est presque immédiat...
remplace par ...puis un petit coup de trigo pour écrire autrement le numérateur, et c'est fini

Posté par
carpediem
re : Somme des premiers cosinus/sinus 02-05-21 à 18:50

il suffit de poser \theta = \dfrac \pi n ...



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