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Somme dessomme des permutations d’un entier
Bonjour ,
Je vous propose l'exercice suivant : Soit N un entier à n chiffres non nuls. On considère tous les nombres obtenus en permutant ses n chiffres (toutes les n! permutations de positions). Calculer la somme de ces nombres en fonction de n et de la somme des chiffres de N.
Bonjour,
Soit N=236 par exemple :
*somme de ses chiffres 11
*somme de ses permutations 2442
Que devons nous chercher ???
Bonjour imod , non bien sur car 1214 est unique dans la somme
Bonjour,
Ce n'est pas conforme à l'énoncé.
On considère tous les nombres obtenus en permutant ses n chiffres (toutes les n! permutations de positions)
Comme pour N à 5 chiffres il faudrait encore modifier la formule il vaut mieux changer d'approche.
Cliquez pour afficherBonsoir,
je ne crois pas qu'il soit possible de trouver un résultat général sans considérer que 11 à deux permutations 11 et 11.
Dans ce cas je trouve :
Cliquez pour afficherNous sommes tous d'accord sur l'homogénéité des permutations
Ma formule correspond à celle de verdurin
je notais combin pour permutation mais directement ! est mieux.
ainsi N=12345---->4 266 624
bonsoir ..... je me rend compte qu' il faudrait un entier " chiffré " sinon c'est pas jouable , de plus comme l'a fait remarqué imod que je salue ca ne peut pas coller avec n! dispositions possibles si il y a des nombres identiques .
je propose donc d'etudier le cas pour N = 52752 par exemple
Bonsoir flight.
Dans ton exemple N=52752 on obtient nombres différents. Il est facile de faire leur somme mais je ne trouve pas ça très intéressant.
On peut certainement trouver une formule en connaissant le nombre de chaque chiffre dans l'écriture décimale de N.
Il est facile de voir que le nombre de « permutations » de N est factorielle n divisé par le produit des factorielles des nombres de chiffres.
Après ça devient plus compliqué.
Dès le début ,nous avons opté pour des permutations "homogènes"
chaque chiffre de N est un élément propre.
Ainsi 52752 possède 120 permutations ainsi que 22557 :
s=21-->S=5 599 944..
Si nous devions traiter les cas de doublons et autres ,la formule ne
serait plus aussi claire.
Bonjour,
la belle formule de verdurin, trouvée par candide2 dans le cas particulier N=52752, se démontre simplement.
Quand on calcule la somme de tous les entiers formés par une permutation des chiffres de N (chaque entier ne figurant qu'une seule fois), le nombre de fois qu'apparait l'entier k pour chacun des rangs (unité, dizaine, centaine, ...) est égal à
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