Bonjour Jaina

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E alors on a l'équivalence :




Je ne sais pas si ça peut t'aider.

Kaiser

Bonjour

Il me semble qu'en dimension finie, la matrice d'une telle application est semblable à une matrice de la forme:

A O
O O

Sauf erreur.

Effectivement, c'est plus parlant ainsi ! (salut Jeanseb ! )

Kaiser

Bonjour Kaiser et jeanseb !

Effectivement, j'aime bien la représentation matricielle.
L'équivalence proposée par Kaiser est un  classique, je vais en profiter pour voir si je sais toujours le faire...

Merci pour vos réponses.

Pour ma part, je t'en prie !

Juste une petite remarque : dans la représentation matricielle donnée par jeanseb, A doit être inversible.

Kaiser

Bonjour à tous,

Ce bon vieux monrow serait content de revoir cet exo.

Justement, je pensais à lui en écrivant cette CNS !

Kaiser

Je ne vois pas pourquoi A doit être inversible .

Salut !

ba si tu enleve la condition A inversible, alors n'importe qu'elle matrice est semblable à une matrice de cette forme ^^

Bonjour

Kaiser a raison de préciser que A est inversible: là réside l'intérêt de la chose.  f agit "en fait" sur Im(f) où elle se comporte comme une bijection, ce qu'on voit bien sur la condition: Im(f) = Im(f²): Si on a égalité entre les deux images, c'est qu' "on ne perd pas de dimension en faisant agir f sur Im(f)", donc que la restriction de f à Im(f) est bijective.  

La sous-matrice A est évidemment la partie agissant sur Im(f). Elle est donc inversible.

Salut !


ce qu'on voit meme encore mieux sur le fait que Im f inter Ker f ={0}... ie que le noyaux de f restreint a Im f  est nul, et donc que f (restraint a Im f) est un automorphsisme de Im f