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somme directe

Posté par jacko78 (invité) 15-09-05 à 18:25

Bonjour bonjour, j'ai un petit souci sur les sommes directes et je vous pose donc la question qui me gene :

Si E = F+G = F'+G' avec F'G, montrer que : E = F+F'+(GG')

Voila je rame un peu avec la manipulation des sommes directes qui differe de celle vue en sup.
Merci d'avance

Posté par jacko78 (invité)re : somme directe 15-09-05 à 19:55

Je voulais faire la double inclusion mais c'est vraiment bizarre ces sommes pour l'instant mon prof n'en a parlé qu'a travers une application injective...

vraiment personne...? svp

Posté par
kachouyabre : somme directe 15-09-05 à 21:11

bonsoir
quelle est la structure de ces ensembles?

Posté par jacko78 (invité)re : somme directe 15-09-05 à 21:22

ce sont des espaces vectoriels semble-t-il

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : somme directe 15-09-05 à 21:50

Bonjour;
on a bien: \fbox{\{\vec{0_E}\}\subset F\cap F'\subset F\cap G=\{\vec{0_E}\}\\\{\vec{0_E}\}\subset F\cap(G\cap G')\subset F\cap G=\{\vec{0_E}\}\\\{\vec{0_E}\}\subset F'\cap(G\cap G')\subset F'\cap G'=\{\vec{0_E}\}} d'où \fbox{F\cap F'=F\cap(G\cap G')=F'\cap(G\cap G')=\{\vec{0_E}\}}
d'autre part pour x\in E soit (x_F,x_G)\in F\times G tel que x=x_F+x_G
et de mm pour x_G soit (x_F',x_G')\in F'\times G' tel que x_G=x_F'+x_G'
on voit alors que x=x_F+x_F'+x_G'
et comme x_G'=-x_F'+x_G\in G on voit que x_G'\in G\cap G'
CQFD
Sauf erreur bien entendu

Posté par jacko78 (invité)re : somme directe 15-09-05 à 23:12

merci elhor, juste un petit point que je n'ai pas compris mais c'est peut etre de ma faute.
Deja c'est mal passé mais toute les sommes de l'enoncé sont des sommes directes...

Je ne comprend pas bien a quoi te servent les trois premieres lignes pour en deduire e que tu as deduit, et de plus tu ecris ensuite le x_G comme somme d'un element de F' et d'un de G' mais comment le sais tu ?

Merci beaucoup

Posté par
kachouyab.somme directe 16-09-05 à 00:29

1/ pour mq; les 3 ensembles F;F' etGG'sont disjoints 2à2.
2/xG est un élément de E qui est somme directe de F' etG'


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