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somme double

Posté par
flight 21-05-24 à 16:12

Bonjour

je vous propose le calcul assez coriace de la somme double suivante

(i/j)  , la premiere somme va de i=1 à n-3 et la seconde somme va de  j=i+2 à n.

Posté par
lakere : somme double 21-05-24 à 17:40

Bonjour,

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Posté par
lakere : somme double 21-05-24 à 18:01

... et je suis curieux de savoir s'il y a une formule sans sommes

Posté par
lakere : somme double 21-05-24 à 19:38

On peut un peu "arranger" sans que ça ne change quoique ce soit :

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Mais la question reste entière : avec ou sans sommes ?

Posté par
flightre : somme double 21-05-24 à 21:22

Bonsoir lake ,  j'obtiens quasiment la meme chose ,  il y a effectivement une serie harmonique dans le resultat ,
mais au numérateur de mon coté j'obtiens n^3-5n²+12+2n

Posté par
lakere : somme double 21-05-24 à 21:38

Bonsoir flight,
Avec S_n=\sum_{i=1}^{n-3}\left(\sum_{j=i+2}^{n}\dfrac{i}{j}\right) pour n\geq 4,
j'ai pris la peine d'écrire :

S_n=\dfrac{n^3-5n^2-4n+12}{4n}+ H_{n-1}=\dfrac{(n-1)(n^2-4n-8)}{4n}+H_n
Tu ferais bien d'en faire autant pour qu'on puisse comparer nos résultats et éventuellement qu'un intervenant tranche.

Posté par
jandri Correcteurre : somme double 21-05-24 à 22:38

Bonsoir,
ce calcul n'est pas difficile, il suffit de permuter les sommes.
Ma calculatrice dit que le résultat donné par lake est juste au moins jusqu'à n=15 (je ne lui ai pas demandé au-delà).

Posté par
Imodre : somme double 22-05-24 à 12:38

Bonjour .

Comme le dit Lake , il n'est pas facile de comparer deux résultats quand l'un d'eux n'est pas exprimer . Apparemment il y a une différence de 1+1/2 = 3/2 entre les deux . Un seul test suffit pour régler le problème

Imod

Posté par
flightre : somme double 22-05-24 à 20:33

bonsoir à tous ,

voici ce que j'obtiens :

((n-3)*(n-2)/(2n)) + i/j ,  i=1 à j-2 ,  j=3 à n-1.  soit  ((i-2)(i-1)/2i) + ((n-3)*(n-2)/(2n))
pour i  compris entre 3 et n-1, soit  :
Hn-1 + (n^3-5n²-4n+12)/4n

tu avais bien raison Lake

Posté par
Ulmierere : somme double 22-05-24 à 21:04

Bon, et bien faisons le calcul au propre

\begin{array}{lcl} \\ \sum_{i=1}^{n-3}\sum_{j=i+2}^n \frac{i}{j} &=& \sum_{j=3}^n\frac{1}{j}\sum_{i=1}^{(n-3)\wedge(j-2)} i \\ &=& \frac1n\sum_{i=1}^{n-3}i  + \sum_{j=3}^{n-1}\frac{1}{j}\sum_{i=1}^{j-2} i \\ &=& \dfrac{(n-3)(n-2)}{2n} + \sum_{j=3}^{n-1}\frac1j \frac{(j-2)(j-1)}{2} \\ &=& \dfrac{(n-3)(n-2)}{2n} + \sum_{j=3}^{n-1}\frac1j \frac{j(j-3)+2}{2} \\ &=& \dfrac{(n-3)(n-2)}{2n} + \dfrac12\sum_{j=3}^{n-1} (j-3) + \sum_{j=3}^{n-1} \frac1j \\ &=& \dfrac{(n-3)(n-2)}{2n} + \dfrac{(n-4)(n-3)}{4} + H_{n-1} - \dfrac32 \\ \end{array}

Ensuite,
2(n-3)(n-2) + n(n-3)(n-4) - 6n = 1n^3 + (2-(3+4))n^2 + (-2\times (2+3)+3\times 4-6)n + 2\times 6 = n^3 - 5n^2 -4n + 12

Donc S_n = \dfrac{n^3 - 5n^2 -4n + 12}{4n} + H_{n-1} et je suis d'accord avec Lake. Je suis d'accord aussi avec la deuxième formule et j'en rajoute une autre : S_n = \dfrac{(n - 2)(n^3 - 4n^2 - 7n + 6)}{4n(n - 1)} + H_{n-2}


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