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Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels

Posté par
marcelleK 22-10-20 à 22:38

Bonjour,

On considère les sous-espaces vectoriels de 4
suivants :

V=Vect\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 ,0,0,-1 \end{pmatrix} &, \begin{pmatrix} 1,1,2,0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}

et  W= \left\lbrace\begin{matrix} x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=0\\ x_{1}-x_{4}=0 \end{matrix}\right.

1. Déterminer des équations cartésiennes pour V .
2. Déterminer des équations paramétriques pour W.
3. Donner une base de l'espace vectoriel V  W et le décrire géométriquement.
4. Donner des équations cartésiennes pour V W.
5. Donner une base de l'espace vectoriel V + W.
6. Donner des équations cartésiennes pour V + W.

1. J'ai répondu :\left\lbrace\begin{matrix} x-y+t=0\\ -2y+z=0 \end{matrix}\right.

il n'y a pas d'unicité du systeme ?

2. j'ai répondu: on prends  comme paramètre les variables x2
et x4 ce qui donne les équations paramétriques suivantes :  
\left\lbrace\begin{matrix} x_{1}=x_{4}\\ x_{2}=x_{2} \\ x_{3}=-x_{2}-2x_{4} \\ x_{4}=x_{4} \end{matrix}\right.

pour les questions 3, 4 , 5 , 6  je ne sais pas comme m'y prendre.

en vous remerciant à tous

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 09:57

Bonjour,

Une petite remarque : puisque dans ton énoncé on utilise les coordonnées (x_1,x_2,x_3,x_4), il est maladroit d'utiliser (x,y,z,t) dans ta réponse à la question 1.
Non, il n'y a pas d'unicité du système d'équation pour un sous-espace, de même qu'il n'y a pas unicité d'une famille génératrice.
Donner des équation paramétriques revient à donner une base du sous espace. Vois-tu une base dans ta représentation paramétrique de W ?

Quand on a un système d'équations pour V et un autre pour W,  les deux mis bout à bout forment un système d'équations pour l'intersection (clair ?). Le système obtenu est en général redondant, il convient de fabriquer à partir de celui-ci un système d'équations linéairement indépendantes (ce qui peut se faire en échelonnant).

De même, quand on a une famille génératrice pour V et une famille génératrice pour W,  les deux mis bout à bout font une famille génératrice pour V+W (clair ?). Il convient bien sûr de fabriquer une base à partir de cette famille génératrice.

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 14:48

Bonjour GBZM

1. \left\lbrace\begin{matrix} x_{1}-x_{2}+x_{4}=0\\ -2x_{2}+x_{3}=0 \end{matrix}\right.

2.\left\lbrace\begin{matrix} x_{1}=x_{4} \\ x_{2}=x_{2} \\ x_{3}=x_{2}+2x_{4} \\ x_{4}=x_{4} \end{matrix}\right.

3. \left\lbrace\begin{matrix} x_{1}-x_{2}+x_{4}=0\\ -2x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{1}-x_{4}=0 \end{matrix}\right.

Ainsi, x1,x4 __ B_{V\bigcap_{}^{}{}W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

x1,x2 __ B_{V\bigcap_{}^{}{}W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

x2,x4 __ B_{V\bigcap_{}^{}{}W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

x1,x3__ B_{V\bigcap_{}^{}{}W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0\\ 1/2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

c'est un plan vectoriel

4.\left\lbrace\begin{matrix} x_{1}-x_{2}+x_{4}=0\\ 2x_{1}-x_{3}+2x_{4}=0 \end{matrix}\right.


5. B_{W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

ou encore

B'_{W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

Ainsi, B_{V+W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

ou encore

B'_{V+W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

6.  en écrivant :

\left\lbrace\begin{matrix} x_{1}=a+b+c\\ x_{2}=b+d \\ x_{3}=2b+2c+d \\ x_{4}=-a+c \end{matrix}\right.

je ne sors pas d'affaire

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 15:01

Qu'est-ce que tu fabriques pour la question 3 ?
Tu pars bien avec un système de quatre équations dont l'espace des solutions est l'intersection de V et W.
Il te suffit donc de trouver une base de cet espace de solutions.
Au lieu de ça, tu fais un truc incompréhensible.

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 16:30

GBZM mais du coup pour moi  ce sont les différentes  bases de l'intersection selon les parametres choisis. ( il suffit d'en choisir une)  Peut être que je me trompe..    

les réponses sont elles  correctes pour le reste des questions ?

et pour la question 6 sais tu comment je peux m'y prendre ?

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 16:34

Restons sur la question 3 : tu pourrais tout de même vérifier ! Aucun des vecteurs que tu donnes n'est solution de ton système de quatre équations.
Reprends proprement la résolution de ce système.

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 17:35

le pire c'est que j'ai vérifié..

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 17:40

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 17:47

pour la question 3
si je cherche à déterminerx_{1},x_{2},x_{3},x_{4}  je trouve x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0  

si je cherche à déterminerx_{1},x_{2},x_{3},x_{4} en fonction d'un couple de paramètres, je trouve ce que j'ai écrit .  le problème par exemple pour x2x4  c'est que x1=x4  mais aussi x1=x2-x4

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 17:50

M'enfin ? Tu ne sais plus résoudre un système d'équations linéaires ?
Fais calmement et avec soin, avec le pivot de Gauss.

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 17:51

  

si je cherche à déterminerx_{1},x_{2},x_{3},x_{4} en fonction d'un paramètre  je trouve  (1,2,4,1) , mais comme je ne comprends vraiment ce que j'ai et que tout est possible donc je suis perdu ..

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 18:05

Si tu as procédé avec ordre et méthode, tu n'a pas à être perdu !
Avec le pivot de Gauss tu arrives à un système échelonné de trois équations homogènes, comme il y a quatre inconnues la dimension de l'espace des solutions est 1, et tu as une base de l'espace des solutions formée d'un seul vecteur. Tout va bien, qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
Et tu peux décrire géométriquement cette intersection des deux planx vectoriels V et W.

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 18:16

S'il est non vide, l'ensemble des solutions du système échelonné (SE)
est un espace affine de dimension n−r.   ?
c'est à priori  une droite vectorielle,   mais donc tout ce que j'ai écrit ne veux rien dire mathématiquement.., il faut avoir recours au pivot de gauss pour connaitre la dimension du sous espace vectoriel,  ou encore de l'espace des solutions.


Merci pour ta patience !  vraiment

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 23-10-20 à 18:32

Ici, le système est homogène (sans second membre), donc l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel, forcément non vide, de dimension n (nombres de variables) - r (rang du système).
C'est bien une droite vectorielle ici, tu peux donner un vecteur directeur.
Tu repars sur de bonnes bases et tu ne te décourages pas.

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 25-10-20 à 01:13

1. \left\lbrace\begin{matrix} x_{1}-x_{2}+x_{4}=0\\ 2x_{2}-x_{3}=0 \end{matrix}\right.

2. \left\lbrace\begin{matrix} x_{1}=x_{4}\\ x_{2}=x_{3}-2x_{4} \\ x_{3}=x_{3} \\ x_{4}=x_{4} \end{matrix}\right.

3. B_{V\bigcap{}W}=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}

4.\left\lbrace\begin{matrix} x_{1}-x_{4}=0\\ -2x_{1}+x_{2}=0 \\ -4x_{1}+x_{3}=0 \end{matrix}\right.

5. B_{V+W}=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} &\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}

6. \left\lbrace\begin{matrix} x_{1}=a+b+d\\ x_{2}=b+c-2d \\ x_{3}=2b+c \\ x_{4}=-a+d \end{matrix}\right.

Quelqu'un pourrait il me dire si ce que j'ai fait est juste,
et pourrait il m'aider à trouver l'équation cartésienne pour la question 6

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 25-10-20 à 08:59

Les quatre vecteurs de ta réponse à la question 5 ne sont pas linéairement indépendants. Ils ne forment pas une base de V+W, mais une famille génératrice.
Connais-tu la relation de Grassmann : \dim(V+W)=\dim(V)+\dim(W)-\dim(V\cap W) ? Elle te dit que V+W est de dimension 3.

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 25-10-20 à 16:59

Bonjour GBZM     oui je retiens  la formule de Grassman  

-1\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}-4\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

donc à l'aide de la formule de Grassman on sait que  dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(VW)= 3

par conséquent  :  B_{V+W} \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, & \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}&,\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} & \end{pmatrix}  est une base de V+W  

je l'ai fait en essayant avec des coefficients qui pourraient correspondre, mais y'a t'il une méthode ?  


6.   \left\lbrace\begin{matrix} x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \end{matrix}\right.  

j'espere que je commence à avancer

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 25-10-20 à 17:10

si l'on extrait la base :

B_{V+W}=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}

on obtient l'equation cartesienne suivante :
\left\lbrace\begin{matrix} 2x_{1}-x_{3}-2x_{4}=0 \end{matrix}\right.

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 26-10-20 à 14:41

Tu vois bien que le premier vecteur de ta base ne satisfait pas l'équation que tu écris dans ton dernier message.

Posté par
marcelleKre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 26-10-20 à 16:59

Bonjour GBZM
comme quoi faut toujours vérifier,

mais donc dans ce cas je tombe aussi sur :

\left\lbrace\begin{matrix} x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \end{matrix}\right.

pourtant  c'est une autre base et tu disais qu'il n'y a pas unicité du systeme d'équation

Posté par
GBZMre : Somme et Intersections de Sous Espaces Vectoriels 26-10-20 à 17:31

Même ici, il n'y a pas unicité : 2x_1+2x_2-2x_3+2x_4=0 est aussi une équation de l'hyperplan.
Tu as unicité à un facteur près pour l'équation d'un hyperplan vectoriel. De même, tu as unicité à un facteur près pour le vecteur directeur d'une droite vectoriel.


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