Somme et produit

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Somme et produit
Posté par 
simon92  26-08-08 à 19:06
Bondour tout le monde,

Un petit exo pour les futurs ou anciens terminales.

Simplifier l'expression: 

Pour ceux qui rentre ne savent pas ce que veut dire  , c'est la factorielle de , c'est a dire le nombre qui est égal a .

par exemple , , ,  etc

on blank ses réponses

bonne chance

je risque d'être moins présent sur l'ile pendant quelque jours vu que ma rentrée est demain (et que je suis en pension), mais suffisement pour passer corriger ca

Simon
 Posté par 
infophilere : Somme et produit  26-08-08 à 19:23
Bonjour 

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(k+1)! = (k+1)*k! = k*k! + k! d'où k*k! = (k+1)! - k!

Somme télesopique

 Posté par 
veledare : Somme et produit  26-08-08 à 19:23
bonjour simon

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j'ai trouvé mais je suis un peu"grande" pour participer,je voulais simplement te souhaiter une bonne rentrée et une bonne année scolaire
 Posté par 
yoyodadare : Somme et produit  26-08-08 à 19:51
salut simon

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une preuve par récurrence: soit An = Somme(k=1/n) k*k!

A1 = 1 * 1! = 1

A2 = 1 * 1 + 2 * 2! = 5

A3 = 1 * 1 + 2 * 2 + 3 * 6 = 23

pour les 3 premiers termes on constate que An = (n+1)! - 1

Or, An+1 = 1 + 4 + 18... + n*n! + (n+1)*(n+1)!  = An + (n+1)(n+1)!

si An = (n+1)! - 1 , alors An+1 = (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)!

An+1 = (n+1)! *(1 + n+1) - 1 = (n+1)!(n+2) - 1 = (n+2)! - 1

donc pour tout n, An = Somme(k=1/n) k*k! = (n+1)! - 1
 Posté par 
simon92re : Somme et produit  26-08-08 à 20:07
bonsoir tout le monde,

kévin >> 
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bah, ouais c'est ca   tu sommes et ca se simplifie (bravo  )

veleda >>  Cliquez pour afficher
bravo  merci surtout, je vous tiendrai bien au courant

yoyodada >>  Cliquez pour afficher
oui c'est le bon résultat, mais en fait la tu fais une conjecture que tu verifie par recurrence (c'est bon pas de problème, mais c'est pas très bien rédiger  ) . Enfin on s'en fout le but n'est pas de bien rédiger la, c'est bien sur bon comme résultat 
 Posté par 
yoyodadare : Somme et produit  26-08-08 à 20:13
ouais c'est sûr pas très bien rédigé... j'ai jamais été bon pour les belles récurences bien propres...

Et sinon tu rentres dans quelle prépa alors ?
 Posté par 
simon92re : Somme et produit  26-08-08 à 20:14
stanislas  et toi ? (si on allait sur le tchat, c'est peut-être mieux) 
 Posté par 
xunilre : Somme et produit  26-08-08 à 20:23
lu' a tous,

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on remarque que:  et c'est fini 
 Posté par 
Nightmarere : Somme et produit  27-08-08 à 02:14
Allez une question à tous > 
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 Qui a trouvé l'astuce de la soustraction des factoriels seul ? (ie sans attendre la correction d'un prof ou la voir sur le (un ?) forum)

ne vous inquiétez pas, rien de bien méchant dans cette question, je n'avais moi même pas trouvé l'astuce lorsque j'ai été confronté à l'exercice la première fois.

 Posté par 
xunilre : Somme et produit  27-08-08 à 08:16
nightmare: 
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moi honnetement je crois avoir déjà vu cet exo dans le cours de bacamaths sur le dénombrement il me semble donc je savais déjà l'astuce . par contre je ne me souviens plus si j'avais été capable de la trouver au premier coup...  
 Posté par 
simon92re : Somme et produit  27-08-08 à 08:23
salut nightmare>> 
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moi j'avais d'abord remarqué en ajoutant 1 a la somme que ca se factorisait plusieurs fois, et puis pour le faire rigoureusement, j'ai utilisé cette conjecture que j'ai démontré par récurrence. Je sais que c'est moins beau, mais j'ai pas pensé a changer k.k! vu que j'ai ma première méthode aboutissait
  Posté par 
amatheur22re : Somme et produit  27-08-08 à 22:39
Bondeur simon92

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Pour la somme il suffit de remarquer que k.k!=(k+1)!-k! pour trouver (n+1)!-1. Bonne rentrée!