Bonjour Master-Och,
Voici ci-dessous la résolution complète du problème. Comme tu pourra le constater, pour les 2 premières parties (qui ne nécessitent pas de calculs importants) la métode est la même que celle donnée dans le lien de Minkus. En revanche la dernière partie permet la résolution du problème sans appui informatique.
Désolé pour la présentation : j'aurai souhaité faire mieux mais je n'arrive pas à faire l'équivalent d'nue présentation word dans ce forum. Bonne lecture...
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Enigme à résoudre :
Une personne a choisi 2 nombres entiers « a » et « b » entre 2 et 100. Elle rencontre P et S, à qui elle donne respectivement le produit et la somme de ces deux nombres. Puis elle leur demande : savez-vous me dire quels sont ces deux nombres ? Un dialogue s'installe :
P : je ne sais pas quels sont ces 2 nombres.
S : je le savais.
P : alors maintenant je sais quels sont ces 2 nombres.
S : alors maintenant moi aussi je sais quels sont ces 2 nombres.
Pouvez-vous trouver ces deux nombres ?
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Résolution de l'énigme :
Il y a 4 conditions à vérifier.
1ère condition : P dit : je ne sais pas quels sont ces 2 nombres.
2ème condition : S dit : je le savais.
3ème condition : P dit : alors je sais quels sont ces 2 nombres.
4ème condition : S dit : alors moi aussi je sais quels sont ces 2 nombres.
Regardons comment traduire ces conditions.
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A -/ 1ère condition à vérifier :
Notons NP = nombre premier
Pour que P puisse dire « je ne sais pas », la solution ne peut pas être :
Critère 1 : a et b sont 2 NP. Exemple : P = 7 x 11.
Critère 2 : a et b sont, l'un un NP, l'autre son carré. (alors P est le cube d'un NP). Exemple : P = 5 x 25.
Comme a et b sont inférieurs à 100, on ne peut pas non plus avoir :
Critère 3 : a est NP supérieur à 50 et b un autre nombre. Exemple : P = 59 x 2
Critère 4 : a est un NP supérieur à 34 (soit 100/3 arrondi au nombre supérieur) et b une combinaison (dans le sens : combinaison = multiplication de) de NP tous supérieurs à 3. Exemple : P = 37 x 21
Critère 5 : a est un NP supérieur à 20 (soit 100/5) et b une combinaison de NP tous supérieurs à 5.
Critère 6 : a est un NP supérieur à 15 (soit 100/7 arrondi au nombre supérieur) et b une combinaison de NP tous supérieurs à 7.
Critère 7 : a et b sont l'un et l'autre une combinaison de nombres premiers tous supérieurs à 10 (soit supérieurs à 100/11 arrondi au nombre supérieur). Condition inutile car a et b sont inférieurs à 100.
Critère 8 : a est un NP supérieur à 10 (soit racine de 100), et b est une combinaison de a avec un autre NP. Exemple : P = 11 x 22.
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B -/ 2ème condition à vérifier :
Puisque S dit « je le savais », S ne peut pas être l'addition de 2 nombres a et b qui répondent aux critères ci-dessus. Recherchons les sommes S possibles :
Critère 3 (critère très efficace !) : S ne peut pas être supérieur ou égal à 53 + 2. Donc S < 55.
Critère 1 : S ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers, donc S est impair, et S est égal à un nombre impair non premier + 2.
Il ne reste que les solutions suivantes : S = 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53.
Parmi ces 11 S possibles :
Les critères 2 à 7 n'éliminent aucun S supplémentaires, car a et b sont impairs donc S pair.
Le critère 8 élimine les solutions où a est un NP > 10 et S = a + 2a = 3a. Soit S = 33, 39, 51. Parmi ces nombres seul 51 était encore dans la liste des possibles, et donc est désormais lui aussi éliminé.
Il ne reste que les 10 solutions suivantes : S = 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53.
Nous appellerons ces nombres le « Groupe des 10 S ».
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C-/ 3ème et 4ème conditions à vérifier :
Après la 2ème condition, P en sait au moins autant que nous. Donc il sait que S appartient au « Groupe des 10 S ». Pour que P puisse dire : « alors maintenant je sais quels sont ces 2 nombres. », c'est donc qu'il connaît P (évidemment) et S. Faisons donc comme P, toutes les décompositions possibles a et b, et recherchons S.
Pour faire ces calculs, prenons l'un de ces S : S = 11.
« Tableau S = 11 »
// a et b // P // Quels sont, pour P, les S possibles ? // Observations (voir ci-après).
// 2 et 9 // 18 // 11*, 9 //
// 3 et 8 // 24 // 14, 11*, 10 //
// 4 et 7 // 28 // 16, 11* // 4ème condition non remplie.
// 5 et 6 // 30 // 17*, 13, 11* // 3ème condition non remplie.
Sont suivis de * les sommes appartenant au « Groupe des 10 S »
Les // délimitent les colonnes d'un tableau.
Faisons quelques observations :
Dans le cas : P = 30, on peut avoir S = 11 ou S = 17. Donc P ne peut pas conclure : la 3ème condition n'est pas remplie.
Dans tous les autres cas, P ne trouve qu'une valeur de S appartenant au « Groupe des 10 S ». Donc la 3ème condition est remplie. Mettons nous maintenant à la place de S : pour conclure à son tour (4ème condition), il faut impérativement qu'il ne lui reste qu'un seul P répondant à la 3ème condition. Dans le cas de S = 11, il y a 3 solutions pour P, donc la 4ème condition n'est pas remplie.
Donc S = 11 n'est pas une solution de l'énigme.
Faisons une deuxième série d'observations, de méthode :
Il est évident que, plus S sera grand, plus le nombre de calculs à faire est important. Il faut donc les éviter en trouvant des moyens pour éviter les calculs inutiles. On a ainsi :
Pour une valeur de P, il y a bien sûr au moins 1 valeur S appartenant au groupe des 10 S. Si on en trouve 2, la 3ème condition n'est pas remplie. Inutile de calculer les autres S !
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Pour S = 17.
« Tableau S = 17 »
// a et b // P // Quels sont, pour P, des S possibles ? // Observations
// 2 et 15 // 30 // 17*, 13, 11* // 3ème condition non remplie.
// 3 et 14 // 42 // 23* (2 + 21) // Comme 17 est de toute façon une solution, la 3ème condition n'est pas remplie.
// 4 et 13 // 52 // 26, 17* // 3ème condition remplie
// 5 et 12 // 60 // 32 (2+30), 23* (3+20) // Comme 17 est de toute façon une solution, la 3ème condition n'est pas remplie.
// 6 et 11 // 66 // 35* (2+33) // Idem
// 7 et 10 // 70 // 37* (2+35) // Idem
// 8 et 9 // 72 // 38 (2+36), 27* (3+24) // Idem
Seul P = 52 permet de remplir la 3ème condition. Donc S = 17 et P = 52 permet de remplir la 4ème condition. Les nombres 4 et 13 sont donc une solution de l'énigme.
Faisons une nouvelle série d'observations, de méthode :
Si pour chaque S, on trouve au moins 2 P remplissant la 3ème condition, alors la 4ème condition n'est pas remplie.
Voici une méthode permet de trouver plus facilement un P qui remplisse la 3ème condition. On sait que S est impair, donc entre a et b, l'un est pair et l'autre impair. Donc P est toujours pair. Lorsque nous recherchons, pour un P, les S possibles, commençons par S somme d'un NP et d'un exposant de 2 (hormis 2 lui-même : 2², 23, 24, …). Il n'y aura qu'un seul S impair, donc la 3ème condition sera remplie.
Exemples des tableaux ci-dessus :
Tableau 11 : a = 3 et b = 8 : pour P = 24, S = 11 ou S pair. Donc 3ème condition remplie.
Tableau 11 : a = 4 et b = 7 : pour P = 28, S = 11 ou S pair. Donc 3ème condition remplie.
Tableau 17 : a = 4 et b = 13 : pour P= 52, S = 17 ou S pair. Donc 3ème condition remplie.
Cette méthode permet de réduire considérablement les calculs. Appliquons-là pour les autres S :
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Pour S = 23 :
a = 4 et b = 19 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 15 : on ne sait pas. Passons à la suite.
a = 16 et b = 7 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème condition ne l'est pas. S = 23 n'est pas une solution de l'énigme.
Pour S = 27 :
a = 4 et b = 23 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 19 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 27 n'est pas une solution de l'énigme.
Pour S = 29 :
a = 4 et b = 25 : on ne sait pas. Passons à la suite.
a = 8 et b = 21 : on ne sait pas. Passons à la suite.
a = 16 et b = 13 : la 3ème condition est remplie.
Il n'y a pas d'autres solutions du type S = NP + 2n : Recherchons en commençant par a =2, puis 3, etc.… s'il existe un autre P remplissant la 3ème condition.
a = 2 et b = 27 : P = 54. Les S possibles sont : 29* (2+27), 21 (3+18), 15 (6+9). Il existe donc un seul S appartenant au Groupe des 10 S : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 29 n'est pas une solution de l'énigme.
Pour S = 35 :
a = 4 et b = 31 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 27 : on ne sait pas.
a = 16 et b = 19 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 35 n'est pas une solution de l'énigme.
Pour S = 37 :
a = 4 et b = 33 : on ne sait pas.
a = 8 et b = 29 : la 3ème condition est remplie.
a = 16 et b = 21 : on ne sait pas.
a = 32 et b = 5 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 37 n'est pas une solution de l'énigme.
Pour S = 41 :
a = 4 et b = 37 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 33 : on ne sait pas.
a = 16 et b = 25 : on ne sait pas.
a = 32 et b = 9 : on ne sait pas.
Il n'y a pas d'autres solutions du type S = NP + 2n : Recherchons en commençant par a =2, puis 3, etc.… s'il existe un autre P remplissant la 3ème condition.
a = 2 et b = 39 : P = 78. Les S possibles sont : 41* (2+39), 29* (3+26), … Déjà 2 S appartenant au Groupe des 10 S donc la 3ème condition n'est pas remplie.
a = 3 et b = 38 : P = 114. Les S possibles sont : 59 (2+57), 41* (3+38), 25 (6+19). Il existe donc un seul S appartenant au Groupe des 10 S : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 41 n'est pas une solution de l'énigme.
Pour S = 47 :
a = 4 et b = 43 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 39 : on ne sait pas.
a = 16 et b = 31 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 47 n'est pas une solution de l'énigme.
Pour S = 53 :
a = 4 et b = 49 : on ne sait pas.
a = 8 et b = 45 : on ne sait pas.
a = 16 et b = 37 : la 3ème condition est remplie.
a = 32 et b = 21 : on ne sait pas.
Il n'y a pas d'autres solutions du tyne S = NP + 2n : Recherchons en commençant par a =2, puis 3, etc.… s'il existe un autre P remplissant la 3ème condition.
a = 2 et b = 51 : P = 102. Les S possibles sont : 53* (2+51), 37* (3+34), … Déjà 2 S appartenant au Groupe des 10 S donc la 3ème condition n'est pas remplie.
a = 3 et b = 50 : P = 150. Les S possibles sont : 77 (2+75), 53* (3+50), 35* (5+30) … Déjà deux S appartenant au Groupe des 10 S donc la 3ème condition n'est pas remplie.
a = 4 et b = 49 : P = 196. Les S possibles sont : 100 (2+98), 53* (4+49), 35* (7+28), … Déjà 2 S appartenant au Groupe des 10 S donc la 3ème condition n'est pas remplie.
a = 5 et b = 48 : Visiblement il y a beaucoup de solutions possibles, passons au suivant pour éviter des calculs trop nombreux.
a = 6 et b = 47 : P = 282. Les S possibles sont : 143 (2+141), 97 (3+94), 53* (6+47) Il existe donc un seul S appartenant au Groupe des 10 S : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 53 n'est pas une solution de l'énigme.
D-/ Conclusion finale :
la solution P = 52 et S = 17, soit a = 4 et b = 13, est la solution unique de l'énigme.