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somme et produit de riemann

Posté par
maths19 08-03-18 à 21:21

Bonsoir pouvez vous m'aider c'est la premiere fois que j'utilise le produit et je ne comprend pas comment faire cet exo

Pour n \in\mathbb{N}* , on pose un = ( \prod_{k=1}^n k^k)^{\frac{1}{n^2}}

(1) Vérifier que ln(un) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n  \frac{k}{n} ln(\frac{k}{n}) + \frac{1}{2}(1+\frac{1}{n}) ln (n)

(2) En déduire que ln (un) - \frac{1}{2} ln(n) admet une limite , quand n tend vers \infty , et conclure qu'il existe une constante C (à déterminer) telle que
un (unevague) C\sqrt{n} quand n tend vers \infty

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 08-03-18 à 21:58

Bonjour,

On prend le log d'un produit, c'est tout.

ln(u_n)=\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nk lnk=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n}lnk

puis on écrit que lnk=ln\left(\dfrac{k}{n}\right)+lnn

etc.

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:07

pourquoi ça donne ca ?

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:09

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Le log d'un produit, tu connais, non ?

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:10

non je ne connais pas

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:16

Allons donc, ln(xyz) = lnx+lny+lnz, (x, y et z positifs). C'est élémentaire.

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:20

non pas ca pourquoi ln d'un produit devient cette somme

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:20

ahhhh je vois le rapport

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:23

Propriété fondamentale des logarithmes ! Il faut revoir tout ça...

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:37

donc ça donne ca ?

ln(u_n)=\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nk lnk=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n  \dfrac{k}{n} lnk=ln\left(\dfrac{k}{n}\right)+\dfrac{k}{n} lnn

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:41

ln(u_n)=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n  \dfrac{k}{n} ln\left(\dfrac{k}{n}\right)+\dfrac{k}{n} lnn

oups dsl je me suis pas relu ca ?

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 08-03-18 à 22:56

Ben non,

ln(u_n)=\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nk lnk=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n  \dfrac{k}{n} lnk=\dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n}\left(ln\dfrac{k}{n}+ln\right)\right)= \dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n}ln\dfrac{k}{n}\right)+\dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n}ln{n}\right)

Il ne reste plus qu'à arranger un peu \dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n}ln{n}\right)

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 08-03-18 à 23:32

ben c'est ce que j'ai fait tu as juste séparer les sommes non ?

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 08-03-18 à 23:36

Oui, et j'ai mis des parenthèses pour une meilleure compréhension. Mais le temps que j'écrive tout ça, tu avais déjà posté ta deuxième version. Je répondais au post de 22:37

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 08-03-18 à 23:49

du coup j'ai essayer de calculer la somme avec les premiers terme est je trouve
O + 2/3ln(3) + 6/3ln(3) + 10/4 ln(n) + ... + ?
c'est ca qu'il faut faire ?

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 08-03-18 à 23:55

Il faut mettre \dfrac{lnn}{n} en facteur et on se retrouve avec \dfrac{lnn}{n^2}\sum_{k=1}^{n}{k} ...

J'arrête là ce soir

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 00:03

du coup cette somme c'est n(n+1) /2  est on se retrouve avec le reste de se qu'on voulait ^^.  

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 00:04

Bonne nuit merci !!!

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 09:33

Pour calculer une limite d'une somme c'est dans le meme raisonnement qu'une simple 'fonction' par exemple ou il faut transformer la somme ?

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 09-03-18 à 10:12

On a

ln(u_n)-  \frac{1}{2}ln(n)= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n  \frac{k}{n} ln(\frac{k}{n}) +\frac{ln(n)}{2n}

la limite du second membre donnera la limite du premier.

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 10:16

oui mais la limite de ln(n)/2n c'est une forme indéterminer

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 09-03-18 à 10:17

Et au second membre on reconnaît une somme de Riemann (merci de mettre une majuscule à son nom !) et un terme dont la limite est évidente.

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 10:25

Bah sur la somme il y K/n sa tend vers 0 et ln(k/n) tend vers l'infini donc forme indéterminé aussi non ?

Posté par
insectere : somme et produit de riemann 09-03-18 à 11:54

lim n+ ln(n)/2n = 0 (par hospital) cest pas indeterminé, si ?

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 09-03-18 à 11:55

Il y a quand même quelques bases à connaître, sinon on ne peut rien faire.
Par exemple la limite de x\ln(x) quand x\to0+
De même trouver à l'intégrale de quelle fonction correspond la somme de  Riemann en question

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 16:50

pour trouver une fonction en fonction de la somme de riemman tu peux me donner un exemple avec une autre somme pour m'explliquer comment faire car nous ne l'avons jamais fais

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 09-03-18 à 17:01

Par exemple \int_0^1 g(x)dx est la limite quand n\to+\infty de   S_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^ng(\dfrac{k}{n})

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 17:12

oui mais pourtant quand n temps vers l'infini c'est zero , je vois pas le lien entre la fonction et la somme ?

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 17:15

en gros x = k/n mais pourquoi le 1/n disparait ?

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 09-03-18 à 17:20

Revoir la définition de l'intégrale de Riemann. Si S_n a une limite alors, par définition, cette limite est l'intégrale  indiquée.

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 17:26

dans l'enoncer on nous parle de un (unevague) C\sqrt{n} quand n tend vers \infty
du coup est ce que f(x) = C\sqrt{x} ??

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 09-03-18 à 17:28

Non la fonction c'est clairement x\mapsto x\ln(x)

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 17:45

mais du coup c'est pas sur l'intervale [0,1] car ln car ln0 c'est pas possible

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 09-03-18 à 17:54

Oui, mais x\ln(x), c'est possible !!

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 09-03-18 à 18:22

bah l'intégrale c'est [lnx x^2/2]de 0à 1    -    1/4[x^2]de 0 à 1

mais ln 0 marche pas aussi

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 09-03-18 à 22:54

\int_0^1 x\ln(x) dx=-\dfrac{1}{4}    car lim_{{x\to 0}}\dfrac{x^2}{2}\ln(x) = 0

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 10-03-18 à 16:27

on a le droit de faire ca quand on calcul une intégrale ?

Posté par
larrechre : somme et produit de riemann 13-03-18 à 12:31

Pour conclure, on en déduit que

\lim_{n\to+\infty}\left(\ln(\dfrac{u_n}{\sqrt{n}})+\dfrac{1}{4}\right)=\lim_{n\to+\infty}\ln\left(\dfrac{u_n e^\frac{1}{4}}{\sqrt{n}}\right)=0

D'où   u_n\sim e^\frac{-1}{4} \sqrt{n}

Posté par
maths19re : somme et produit de riemann 15-03-18 à 21:03

c'est bon j'ai reussi j'ai trouver se resultat aussi


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