La somme de 1002 et 1003 est de 2005, et leur produit le est le plus grand chercher.

Je suppose que les nombres sont égaux car le produit est maxi à somme constante si les nombres sont égaux.
Soit a ce nombre , la somme est égale à (2005/a)*a.
Comme on intuite que a est petit ,le produit est donc approximativement égal à a^2005/a
En dérivant par rapport à a, on trouve que la dérivée s'annule pour a = e.
Je prends donc l'entier le plus proche soit a = 3.
2005 = 668 * 3 + 1.
Le produit le plus grand est donc P = 3⁶⁶⁸*1 = 5,21 * 10³¹⁸

2005=4+667*3

4*3⁶⁶⁷=694923325620528475261495104287460614461
201549676263622750840348666831346493156594810461559136439
906210336188821339362107781688672788549933034789437766622
448442618808494722139432852451750016017358906332405933123
094522218849399246500680904283309882273173286826858444209
0545724402318126410950674133770207603853881431578348

2005=2*1001+3

3*(2^1001)=6,4291E+301

1003+1002

en gros, on remarque que A*B >(A+1)(B-1) si A >B donc pour que le produit sois le plus grand possible pour une somme donner il faut que les 2 nombre soit le plus "proche" possible

Cette décomposition doit comporter le plus de nombres égaux possibles et on voit que cet entier n doit être petit.  
La fonction P(n) = n^K/n avec K constant est maximale pour n = e = 2,718...
Je prends donc n = 3 (le plus proche).
Comme 2005 = (668 * 3) +1
Pmax = 3⁶⁶⁸ * 1

Bonjour

Soit a+b=2005

On cherche a et b tel que a*b est supérieur  possible

Donc on fait a=2005-b

D'où f(b)=b*(2005-b)

On dérive f(b) et on trouve le maximum P=f(2005/2)

D'où P=1005006.25

D'où a et b ne sont pas des entiers (car .25) donc cherchons des entiers a et b.(Mais produit max. est  bien 1005006.25 bien sûr)

Donc prenons P=1005006 pour l'instant

On résout du coup a+1005006/a=2005

D'où on trouve a={1002; 1003} (ah ah ce sont entiers donc nous sommes contents, car si ce n'était pas des entiers il fallait descendre encore ex: P=1005005)

Donc b={1003; 1002}

Donc la seule somme c'est "1002+1003=2005

Cordialement Yalcin

(j'ai fait ça vite fait, il est tard je vais dormir, allez tchaoooo)

Désignons par


En partant du constat que mais que , il faut raisonner par récurrence et montrer que pour un entier ,  


Dans notre cas

Parmi les sommes d'entiers positifs qui sont égales à 2005, celle dont le produit des termes est le plus grand est donc


Le produit

somme :
3+3+3+3+...+3=2004+1
donc le produit des 668 trois est le plus grand produit d'entier naturel donc la somme fait 2005

L'idée est qu'une puissance vaut mieux qu'un produit... donc on va chercher une somme comportant un plus grand nombre de termes.
Evidemment la somme de 2005 termes tous égaux à 1 dont le produit 1 est à écarter ! (et plus généralement l'usage de 1 à éviter).

On peut donc "casser" au maximum les entiers, i.e. les décomposer comme somme de deux ou plusieurs autres.
Et pour cela, il faut utiliser la constatation suivante:
Pour tout entier n4, on peut avantageusement remplacer n par la somme 2+(n-2) dont le produit 2(n-2)=2n-44.
Ainsi, les termes de la somme sont tous des entiers égaux à 1, 2 ou 3.
Par ailleurs, 2+2+2=6 et =8  tandis que 3+3=6 et =9.
Donc, on préfèrera toujours deux termes égaux à 3 plutôt que trois termes égaux à 2.
On va donc caser un maximum de chiffres 3.

Enfin, 2005 = 3 668 + 1 (division euclidienne) mais le choix du 1 s'avèrerait catastrophique pour le produit.
Par contre, 2005 = 3 667 + 4 et cela conduit à la meilleure solution pour le produit : .

Conclusion:
La meilleure somme est   pour un produit maximal de .

Aucune solution n'étant demandée, je ne donnerai que des pistes de ma méthode de résolution.

Tout d'abbord il existe toujours une solution optimale où les termes sont tous égaux à 2 ou 3. Ceci est facile à vérifer par l'absurde, indépendament de la valeur de la somme (ici 2005).

Ensuite la démo dépend de la congruence de la somme modulo 3. Ici 2005=1mod3 et dans ce cas la solution optimale est constituée de 2 facteurs "2" et d'autant de termes "3" que nécéssaire. Ceci se démontre par l'absurde également.

Ainsi, comme 2005=667*3+2*2 je prétends qu'une solution optimale est:



On peut évidement remplacer les deux termes 2 par un terme 4. Ceci donne une autre solution optimale.

Isis

2005 = (1+2+3+...+62) + (1+2+...+9) + 7
Le pluis grand produit: 62! * 9! * 7

Bonjoru a tous,

je serait plutot tenter de dire que cela revient au probleme de former une série de nombres entiers positifs utilisant le plus de termes, terme different de 1 puisque 1 est neutre pour la multiplication. Autrement dit une série utilisant un maximun de 2 et n'utilisant pas de 1.
Or 2005=2*1001+3 donc la serie d'entiers positifs est composée de 1001 chiffres 2 et un chiffre 3.
Le produit des termes vaut :

Voila voila ..

Miaouw tout plein et a bientot sur l'île![u][/u]

2 puissance 1001 fois 3 ?????

va savoir pourquoi ?  2005=1002*1003 max !

x(n-x) maximale en n/2 entre les deux racines du trinôme  , on va donc couper en deux chaque nombre : 1002 donne max pour 501 *501  

décomposer permet d'obtenir un nombre pair et un nombre impaire ou deux nombres pairs  , la décomposition se faisant au "milieu"...

et ainsi de suite...et on décompose 2005 = 2+2+....+2+3 avec 1001 nombres 2  

ainsi 2 puissance 1001 fois 3

Sans parvenir à le justifier très clairement, qque chose du type:

4*3⁶⁶⁷

Maximiser le nombre de termes (=/ 1) en 2 ou 3...
Me manque des bases théoriques...

je previen je fia la collection de poisson:
il faut ke la somme soi de osrte d'avoir un une moyenne d'unn chiffre X av o dixieme un 5 car pour avoir le plsu grnad nombre il faut multiplié le plus de chiffre possible et les plus grnad possible. or 10 est le plus grnad diviseur de 2005 ayant pr moyenne 200.5 donc la suite est 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 et leur produit donne environ 1.048812979 10^13.
pr exmeple le cas avec 1002 et 1003 n'est pas le produit le plsu grand

Bon allé je ne suis pas tres sur de moi mais bon ...
Qui ne tente rien n'a rien

Je propose : 3*667+4 = 2005 Comme somme de termes ...
Ce qui donne : 3^667*4 comme produit des termes ...

Dites moi ke c bon

bon, ben 3 puissane 668 es plus grand !!!

5.2 x 10 ^318,  ouf ce prob, j'arrive pas à trouver la preuve  

1002 * 1003 = 1005006

Méthode:
x + y = 2005
M(x,y) = x * y à maximiser avec x , y
M(x,y) = x * (2005 -x)
M'(x,y) = 0 2005 - (2 * x) = 0 x = y =
Or x et y sont naturels donc x = 1002 et y = 1003 (ou l'inverse )

Bonjour,

2005 = 3667 + 3 + 1
     = 4 +

le produit des termes de cette somme donne : 43⁶⁶⁷

c'est ce que j'ai trouvé de plus grand, mais est-ce vraiment ça?

sans grande conviction je dirais que cette somme serait:
somme de (2 à 62) + somme (2 à 9) + somme (2 à 4) = 2005

ce qui fait environ en faisant le produit de ces nombres:
2x3x...61x62x2x3...x9x2x3x4 = environ 2,74x10 puissance 92

Appelons f la fonction qui à une formulation de N=a+b+…+c associe Y=f(N)=a.b. … .c
Il faut trouver les a,b,…c tels que a+b+…+c=2005 et Y=f(2005)=a.b. … .c maximal.

On constate tout d’abord que les valeurs 0 et 1 des valeurs sont à exclure car soit rendant f(2005) nulle, soit ne contribuant pas à la maximaliser (1 élément neutre pour la multiplication).
Montrons qu’un nombre N>=5 se décomposant en somme de deux nombres a et b possède un f(N=a+b) supérieur à N ; a>=2 et b>=3
Sous sa forme non décomposée, Y=f(N)=N
Si N=a+b => Y=f(N)=a.b ; et comparons a+b à a.b.
Effectuons le rapport N/f(N)=(a+b)/ab = 1/b +1/a
Or a>=2 => 1/a <= ½ et b>=3 => 1/b <= 1/3 d’où  N/f(N) < 5/6 < 1, d’où f(N=a+b) > N
Par suite, tout nombre N>=5 décomposé en une somme de 2 nombres >=2 fournit un f(N) supérieur.

En poussant cette décomposition au maximum, N sera exprimé en fonction des deux entiers 2 et 3, d’où N = n.2 +m.3 (1)
N = n.2 +m.3 => Y=f(N)=2ⁿ x 3^m  qu’il faut maximiser en déterminant n0 et m0 pour N=2005.
Maximiser Y=f(N) revient à maximiser y=ln(Y)=n.ln2+m.ln3 (2).
Dans (2), le coefficient de m est ln3 supérieur à celui de n qui est ln2 donc y sera maximal pour un m maximal et comme, selon (1), 2n+3m est une constante, plus m sera grand, plus n sera petit.

Calculons n0 le plus petit et m0 le plus grand tel que 2n0+3m0 = N
Dans R, n0=0 et m0=N/3 mais n0 et m0 doivent être entiers ; discutons donc si N est multiple de 3 :
- si Nmod3=0, N=3k alors m0=k=N/3 ou m0=Ent(N/3)-0 et n0=0
- si Nmod3=1, N=3k+1=3(k-1)+3+1=3(k-1)+2.2, alors m0=k-1=Ent(N/3)-1 et n0=2
- si Nmod3=2, N=3k+2 alors m0=Ent(N/3) ou m0=Ent(N/3)-0 et n0=1
La somme cherchée est n0 fois 2 + m0 fois 3 d’où y0=n0.ln2+m0.ln3 et Y0=exp(n0.ln2+m0.ln3)
On peut exprimer n0 et m0 en fonction de Nmod3 en remarquant que m0=Ent(N/3)-g(Nmod3) et n0=h(Nmod3) et déterminer g et h fonctions en x². On trouve ainsi :
m0=Ent(N/3)-(2-Nmod3).Nmod3
n0=((7-3.Nmod3).Nmod3)/2
Y0=2^{((7-3.Nmod3).Nmod3)/2}.3^{Ent(N/3)-(2-Nmod3).Nmod3}

Pour N=2005
m0=Ent(N/3)-(2-Nmod3).Nmod3=668-(2-1).1=667 et n0=((7-3.Nmod3).Nmod3)/2=(7-3)/2=2
m0=667 et n0=2 => 2005 = 2 fois le chiffre 2 + 667 fois le chiffre 3 et f(2005)=2².3⁶⁶⁷
D’où y0=n0.ln2+m0.ln3=2.ln2+667.ln3 => y0= 734,16 et Y0=exp(2.ln2+667.ln3) => Y0= 6,94e+318

Pour N=2006
m0=Ent(N/3)-(2-Nmod3).Nmod3=668-(2-2).2=668 et n0=((7-3.Nmod3).Nmod3)/2=(7-3.2).2/2=1
m0=668 et n0=1 => 2006 = 1 fois le chiffre 2 + 668 fois le chiffre 3 et f(2006)=2.3⁶⁶⁸
D’où y0=n0.ln2+m0.ln3=1.ln2+668.ln3 => y0= 734,56 et Y0=exp(1.ln2+668.ln3) => Y0= 1,04e+319

Pour N=2007
m0=Ent(N/3)-(2-Nmod3).Nmod3=669-(2-0).0=669 et n0=((7-3.Nmod3).Nmod3)/2=(7-3.0).0/2=0
m0=669 et n0=0 => 2007 = 0 fois le chiffre 2 + 669 fois le chiffre 3 et f(2007)=3⁶⁶⁹
D’où y0=n0.ln2+m0.ln3=0.ln2+669.ln3 => y0= 734,97 et Y0=exp(0.ln2+669.ln3) => Y0= 1,56e+319

mon raisonnement pêche dans le cas où M est une puissance de 2 que l’on ne décompose qu’avec des 2 ; si on l’applique tel qu’il est formulé, on trouve que la valeur Y0 maximale vaut 2^k.
Quelqu’un peut-il me dire où la démonstration est incomplète ?
Nota : en revanche, la détermination de m0 et n0 s’applique et fournit le bon résultat.
Par exemple, pour M=16
Si l’on décompose M=16=8+8=4+4+4+4=2+2+2+2+2+2+2+2 ; sous cette forme, Y0=2⁸=256 (résultat faux).
En appliquant les formules précédentes, m0=Ent(16/3)-(2-16mod3).16mod3=5-(2-1).1 => m0=4 et
n0=((7-3.16mod3).16mod3)/2=(7-3.1).1/2 => n0=2, d’où f(16)=2².3⁴=324 qui est bien la valeur maximale.

Autre question : est-il possible, pour son émetteur, de relire le post envoyé d'une énigme non close ?

Bonjour
j'ai fait qqch dont je ne suis pas sur alors voilà:
4+4+4+4+...cela 469 fois +3+3+3+.. cela 43 fois=2005

Donc les produits des termes est:

Le total est vraiment très long (c pour ca que je crois que c'est faux )
@+ pour avoir la correction

REPONSE:
3^667*4 beaucoup
voilivoilou

On décompose 2005 en facteur premier:
     2005=5*401
On a deux solutions:
5^401 > 401^5
Le plus grand est 5^401.

Sans en être totalement sûr, je dirai que la somme est : 401 + 401 + 401 + 401 + 401 = 2005

sans conviction aucune on a
2005=20*99+15
soit le produit suivant : (99^20)*15=1,23.10⁴¹

       Max=



  

la suite contenant 667 trois et 1 quatre

J'ai trouve des cafes internet a Teneriffe d ou je vous envoie une reponse
la somme : [2+3+4+...+61] + 115
le produit des termes : 5,837. 10⁸⁵

Bonsoir

9 bonnes réponses contre 19 mauvaises. Cette dernière énigme du mois de janvier a été plus difficile que prévue : la difficulté de deux étoiles était cette fois-ci peut-être sous-estimée.

Bravo pour les bonnes réponses :
Le produit maximal est obtenu à partir de la somme :
2005 = 3 + 3 + ... + 3 (667 termes) + 2 + 2.

A bientôt (en février) pour de nouvelles énigmes...

Je me suis lamentablement planté mais je voulais féliciter Manpower pour son titre de janvier (qui a fait quand même un sans fautes avec ses 29x2=58)

Tout à fait jetset.

Félicitations à manpower pour son sans faute
En plus comme cela tu arrives à être premier sans avoir pour autant participer à toutes les énigmes. A croire que tu as bien su éviter les topics pièges des fourbes posteurs d'énigmes
manpower, je t'envoie un petit mail en privé dès maintenant

Bravo manpower. Quel beau parcours !
Mention spéciale aussi à gilbert qui à longtemps tenu la corde et isitruiss pour son sans faute.

Au mois prochain pour de nouvelles aventures.

Felicitations sincere au major de la promo

Pour manpower ... HOURAA !!!

Mais sache que j'ai commencé a poster au debut du mois ...
Et que je compte bien remmetre ton titre en jeu des 2m1

MOUAHAHAHAHAHAHAHA

lol non je rigole ( enfin presk )
Et encore bravo a tous les participants de ce mois ci pour mettre une telle bonne ambiance

++ @ tous

Bonjour,
je comprends bien l'attribution de mon poisson mais par contre je ne comprends pas celui attribué a rachmaninof (667 trois et 1 quatre ) ..

Pourrait on m'expliquer ?

Miaouw

voici la question a laquelle il falait repondre:
"Parmi  les sommes d'entiers positifs qui sont égales à 2005, quelle est celle dont le produit des termes est le plus grand ?"
il est clair que c'est la suite en question qui est demander, voici ma reponse:
"la suite contenant 667 trois et 1 quatre"
j'ai l'impression de m'exprimer en français et il me semble de plus d'apres la correction que j'ai raison donc je ne comprend vraiment pas mon poisson!
de plus aucune explication n'etait demandee.

si on me reproche une concision exessive que penser du message poster par hopla (3^667*4) qui a ete corrige juste.

Salut rachmaninof

Je viens de lire tes deux derniers messages.
Je suis donc allée voir ta réponse à cette énigme.
Attention : ce n'est qu'un avis personnel, et je ne viens pas justifier une notation à laquelle je n'ai pas pris part !
Je laisse à Victor le soin de le faire...

Simplement, j'ai lu que tu disais que pour toi, 'il est clair que c'est la suite en question qui est demander'
Personnellement, je ne suis pas d'accord avec toi :
Voici comment je comprends l'énoncé :

Dans cette énigme, on nous demande de trouver une somme d'entiers dont le produit vérifie certaine une propriété.
A priori, je serais donc tentée de répondre en donnant uns somme, et pas une suite de termes...

Pour moi, tu as donné la suite des termes dont on considérait successivement la somme puis le produit, mais pas cette somme-là (ou éventuellement le produit correspondant).

Par contre, je suis entièrement d'accord sur le fait qu'aucune explication ni justification n'était demandée...
Ceux qui arrivaient à faire bref _{(ce que personnellement, j'ai du mal à faire )} ne devaient donc pas être pénalisés !

@+
Emma
_{je me répète : ce n'est qu'un avis en passant}

Bonjour,

Mon post posait 2 questions :
- une sur le raisonnement qui semble avoir une faille que je ne parviens pas à localiser (cas des puissances de 2): si quelqu'un (Victor ?) voit l'erreur, merci de m'éclairer,
- une sur le fonctionnement du forum "est-il possible, pour son émetteur, de relire le post envoyé d'une énigme non close ?"; si c'est possible, comment faire ?

Merci encore pour vos énigmes

Philoux

Bonjour,

pour rachmaninof: c'est corrigé, tu as eu ton smiley. Ta réponse était tellement concise que je l'ai lue trop rapidement

pour philoux : je n'ai pas le temps pour le moment de me pencher précisément sur ton raisonnement mais tu as peut-être été trop optimiste en voulant chercher une méthode qui fonctionne dans tous les cas. En tout cas, pour N=2005, ta méthode fonctionnait
pour la dernière question, je laisse Tom_Pascal te répondre...

@+

Bravo à tous les participants, même les plus ou moins bien inspirés. (Rappelez vous ce cher Coubertin ...!!)
Vraiment sympa ces énigmes !
Une mention spéciale à  manpower et à franz, qui brillent par leur régularité.
Courage à tous pour février.

Chapeau à Manpower et à Franz pour leur parcours "presque" parfait.
Je n'aurai qu'un mot : "Respect" ...

philoux,

Non, un participant ne verra plus sa réponse une fois celle-ci envoyée et ceci jusqu'à la cloture de l'énigme.
Par contre, il peut en principe vérifier sa réponse avant de l'envoyer grâce à l'apercu...
Et c'est même conseillé car de toutes facons, une fois envoyée, seule la première réponse donnée par un candidat sera notée.

Merci pour les lauriers... n'en jetez plus !
Comme xWiBxRaYmAn0o7x, j'ai débuté ce mois (c'est pour cela que je n'ai pas répondu à toutes les énigmes et non par choix) et j'ai donc découvert ce site magnifique.
S'il est vrai que gagner un livre est attractif et motive un peu plus, comme le disait instinct : "L'essentiel est de participer !".
Personnellement, et certainement comme tous, c'est un vrai régal d'avoir, quasi quotidiennement, une nouvelle énigme à résoudre. Ca fait un peu de gymnastique pour nos neurones, c'est très agréable. Il faut chercher une solution ou la plus simple solution, la rédiger... mais cela demande aussi du temps !
Faute de temps, parfois on hérite d'un poisson (une distraction, une faute de frappe, une explication un peu brève...). L'essentiel est, je pense, d'avoir trouvé la bonne réponse (même si c'est rageant de se voir attribuer un poisson).
Bon, je m'étale un peu là...
Bref, franz aurait dû (au moins) finir à 58 lui aussi ( en fait j'ai placé une webcam braquée sur son écran et je pompe toutes ses réponses! ).
Joli mois aussi pour beaucoup d'autres: gilbert, Nofutur2, daniel12345, pietro, isisstruiss...

Bonne chance à tous pour le mois prochain et prenons exemple sur franz (politesse, modestie, courtoisie, fairplay, mise en forme, ...).
Et surtout amusons-nous !

PS: J'exige, en plus du livre, le remboursement des piles de ma vieille Casio maltraitée ce mois-ci!
     ( Euh, isis, une formation mapple... c'est possible ? )

Bonsoir à tous, j'en vien aussi aux "bravos". Tout d'abord un grand bravo et un énorme merci à tous ceux qui travaillent dans l'ombre pour qu'on puisse s'éclater avec ces énigmes. Puis au gagnant du mois qui a fait un parcours épatant, bravo manpower.

Mais j'avoue que mon préféré, mon modèle, mon héros, c'est bien franz. Comme l'a bien dit notre champion en titre, ses raisonnements sont toujours nickels, ses messages sont toujours rédigés avec soin et il est toujours d'une grande sympathie. Franz a vraiment de la classe! Et je ne parle pas que des énigmes, je parle de ses interventions dans le forum en général. Encore bravo!

Et si c'était possible, j'aurais voulu serrer la main à tous les participants. C'est très motivant de concourrir avec d'autres personnes, même si on ne les voit jamais pour de vrai, et de les suivre tout au long du mois. Merci à tous.

Puis j'ai une petite question à manpower car je ne suis pas sûre d'avoir compris son petit mot "Euh, isis, une formation mapple... c'est possible ?". La formation c'est pour moi ou por toi? J'avoue que je connais très mal mapple et tu pourras sûrement m'apprendre plus que je ne pourrai t'apprendre.

Isis

Heureux que nous soyons d'accord pour le cas d'école franz, Isis !

Et il est vrai que je me suis mal exprimé: Je parlais d'une formation pour mézigue ! mapple je ne connais absolument pas mais j'ai téléchargé une démo dans le but de programmer mon micro plutôt que ma calculette.
Je me débrouille en algorithme mais les langages que j'ai pratiqué sont maintenant "dépassés" (basic, pascal, casio... et de toute façon je n'ai pas de quoi programmer sur PC). Ma question serait donc plutôt : Avec quel(s) outil(s) et via quel(s) langage(s) programmes-tu ? Sans être un accro, j'aime bien ça et je partage ta conception de la programmation "réfléchie". Merci d'avance.

Salut manpower!

Pour des grands projets, je programme sur C++. Mais pour des petites bricoles j'utilise Octave. D'ailleurs j'ai même pas de calculatrice et si je dois faire un calcul que je ne sais pas faire de tête je passe par Octave.

Si jamais tu ne connais pas Octave, c'est un programme open-source (donc gratuit) calqué sur le modèle Matlab. D'ailleurs je te conseille vivement Matlab. C'est un programme facile à utiliser, qui a plein de facilités pour visualiser tes résultats, a plein de fonctions déjà programmées et qui est surtout efficace si tu travailles avec des matrices. D'ailleurs la dernière version (7) permet d'exporter le code et les résultats (nombres et graphiques) pour faire un beau rapport en LaTeX.

Octave marche sur le même principe, avec des fonctionnalités en moins. Puis je sais même pas s'il existe une interface graphique pour windows, en tout cas je ne connais Octave qu'en ligne de commande. Donc si tu aimes avoir plein de boutons et plein de fenêtres qui s'ouvrent, c'est pas la peine d'essayer.

Isis

Merci pour ces infos, Isis je vais voir ça dès que j'aurais un peu de temp.
J'ai téléchargé Octave mais je crois qu'il va falloir bidouiller un peu pour que ça tourne sous Windows (oui,oui,... je sais) même sans interface.