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Somme et suite

Posté par
jp75015 21-08-14 à 11:38

Bonjour tout le monde,

1) J'éprouve des difficultés à trouver le bon changement de variable et/ou la bonne formule à utiliser pour les coefficients binomiaux
Sn=(de i=0 à i=n)  [(n+i) parmi 2n]
Je dois montrer que Sn= 22n-1 +(1/2)*[n parmi 2n]
J'essaie bien d'utiliser la formule du binôme de Newton mais je n'arrive pas à conclure.

2) Up= [p parmi 2p] * (1/22p) pour tout p entier naturel non nul
Je dois montrer que Up+1= [ (2p+1)/(2p+2) ]* Up
J'ai eu beau manipuler les formules en partant de Up+1, je n'y arrive pas non plus :/

Merci par avance pour vos aides

Posté par
blumaisere : Somme et suite 21-08-14 à 11:48

Indice :  (n+i) parmi 2n est égal à (n-i) parmi 2n.

Posté par
athrunre : Somme et suite 21-08-14 à 11:50

Bonjour,

1) S_n=\sum_{i=0}^n\binom{2n}{n+i}=\sum_{i=n}^{2n}\binom{2n}{i}=\sum_{i=0}^{2n}\binom{2n}{i}-\sum_{i=0}^{n-1}\binom{2n}{i}.

2) U_{p+1}=\frac{1}{2^{2p}}\binom{2(p+1)}{p+1}\frac{1}{2^2}. Il faut donc montrer que :

\binom{2(p+1)}{p+1}\frac{1}{2^2}=\frac{2p+1}{2p+2}\binom{2p}{p}.

Posté par
jp75015re : Somme et suite 21-08-14 à 12:31

Merci pour vos réponses !
pour la 2), j'avais aussi trouvé cela mais je n'ai pas réussi à montrer l'égalité :/

Posté par
FrancchoixAide 21-08-14 à 12:57

On peut écrire (nCk désigne k parmi n):

(1+1)^{2n}=2^{2n}=\sum_{0}^{2n} 2nCk=\sum_{0}^{n-1} 2nCk+2nCn+\sum_{0}^{n-1} 2nC(n+k),  

soit 2^{2n}+2(2nCn)=2\sum_{0}^{n} 2nC(n+k)+2nCn.

Ce qui donne: \sum_{0}^{n} 2nC(n+k)=2^{2n-1}+\frac{1}{2}(2nCn)

Posté par
jp75015re : Somme et suite 21-08-14 à 13:02

Je suis désolé mais même avec vos aides, je n'arrive pas à répondre aux deux questions

Posté par
jp75015re : Somme et suite 21-08-14 à 13:03

Je n'avais pas vu votre réponse Francchoix !
Merci beaucoup !

Posté par
jp75015re : Somme et suite 21-08-14 à 13:08

En fait, je ne comprends pas votre 2ème égalité quand vous passez de 22n à la formule du binôme de newton (?) : le 2 en facteur avec le coefficient binomial, d'où vient-il ? :$

Posté par
jp75015re : Somme et suite 21-08-14 à 13:09

Ah mince, excuse-moi, j'avais mal lu l'annotation ! J'ai compris ^^'

Posté par
jp75015re : Somme et suite 21-08-14 à 13:14

Je suis désolée pour le multipost mais en fait, je n'ai pas compris comment vous avez divisé la somme, à l'aide des bornes de k=0 à k=n-1

Posté par
jp75015re : Somme et suite 21-08-14 à 13:30

Finalement , j'ai bien compris la réponse pour la 1) ^^'

Posté par
Francchoixsuite 21-08-14 à 13:57

\frac{2p+1}{2p+2}U_p=\frac{2p+1}{2(p+1)}\frac{2p!}{p!p!}\frac{1}{2^{2p}}=\frac{(2p+1)!}{(p+1)!(p)!}\frac{1}{2^{p+1}}.

On multiplie par \frac{2p+2}{2(p+1)}et on obtient:
\\ \frac{(2p+1)!}{(p+1)!(p)!}\frac{1}{2^{p+1}}=\frac{(2p+2)!}{(p+1)!(p+1)!}\frac{1}{2^{p+1}}=U_{p+1}

Posté par
athrunre : Somme et suite 21-08-14 à 14:13

J'ai écrit un peu trop vite ma formule pour le 1), elle ne se "simplifie" que partiellement, donc oublie !

Posté par
Francchoixerrata 21-08-14 à 14:19

Petite erreur de Latex; j'ai écris d'abord 2^{p+1} à la place de 2^{2p+1} , puis à la fin 2^{p+1} à la place de   2^{2(p+1)}


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