Salut,
La première somme : S(1) = 1-1+1-1+1-... vaut 1 ou -1 , mais certainement pas 1/2.

Merci pour la réponse.
C'est bien ce que je pensais mais cette somme ne vaut-elle pas 0 ou 1 ?

Se méfier comme de la peste des séries infinies et des manipulations qu'on peut en faire :

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

1-S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...)

1-S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

et donc 1 - S = S

2S = 1

S = 1/2

En fait, on ne peut pas donner de valeur à la somme S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... car cette somme ne converge pas vers une valeur, elle "oscille" à l'infini.

... cependant si on veut vraiment attribuer une valeur à la somme, alors c'est 1/2.

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Il y a bien d'autres "curiosités" avec les séries infinies, notamment avec les séries dites "semi-convergentes"


Théorème :

Si une série est semi-convergente, on peut regrouper ses termes de façon que la somme de la nouvelle série obtenue soit égale à un nombre A donné à l'avance.

En outre, on peut regrouper les termes d'une série semi-convergente de façon à ce que la nouvelle série soit divergente.

Mais c'est un autre sujet ... qui en a déjà perturbé beaucoup.
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salut

oui on ne peut pas faire grand chose avec des séries non-absolument convergente ....

en particulier par permutation ou regroupement des termes on peut obtenir n'importe quelle limite ...

J-P propose la méthode d'Euler pour proposer 1/2, c'est aussi la limite de la moyenne de Cesàro ...

Merci à tout le monde pour ces réponses qui m'ont éclairées.
Reste plus qu'à expliquer tout ça à mon élève...

tu peux toujours lui proposer très simplement avec la série S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...

S = (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + ... = 0

S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1

qui montre qu'on ne peut pas déterminer (donner) une limite à S



pour ce qui concerne la série S = 1 + 2 + 3 + ....

on sait précisément calculer les sommes partielles (séries arithmétique) et montrer que ça tend vers plus l'infini .... (suite strictement croissante à termes positifs ....)


le subterfuge vient de l'introduction de la suite S (et son équivalente 1 - 2 + 3 - 4 + ....) à laquelle on peut donner n'importe quelle valeur ...

Il faut toujours voir une serie comme une suite (des sommes partielles) changer l'ordre des termes implique un changement en ce qui concerne la suite : il n'y a aucune raison pour laquelle la limite reste la meme.

Bonjour
même avec des séries convergentes, on peut avoir de jolies blagues quand on cherche à modifier l'ordre des termes : c'est ce que rappelait J-P
l'addition n'est plus commutative, dans les sommes infinies.

lafol tu vois pas mes posts ?