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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Somme infinie

Posté par
lamouchaa
13-03-22 à 10:54

Bonjour à tous,
J'ai une interrogation sur les sommes infinies et les changements d'indice.

Dans mon cas je dois calculer une espérance définie par :

\mathbb{E}(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}e^{-\lambda}

J'ai alors écrit que : 2\mathbb{E}(X) = \sum_{k=0}^{\infty} 2k\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}e^{-\lambda} et en posant k'=2k j'ai trouvé que \mathbb{E}(X) = \frac{\lambda}{2}

Est-ce possible de faire un tel changement d'indice ? Car cela revient à supprimer la moitié des termes.

Posté par
GBZM
re : Somme infinie 13-03-22 à 11:08

Bonjour,

Tu vois bien que ça ne marche pas puisque tu n'as que des k' pairs dans ta somme.

Mais tu peux remarquer que \sum_{k=0}^{\infty} 2k\,\dfrac{\lambda^{2k}}{(2k)!} est la partie paire (en tant que fonction de \lambda) de \sum_{k=0}^{\infty} k\,\dfrac{\lambda^{k}}{k!}.

Posté par
lamouchaa
re : Somme infinie 13-03-22 à 11:56

Oui effectivement, c'était manipuler l'infini de manière frauduleuse.

Avec votre aide j'en suis venu à ceci :

2\mathbb{E}(X) = e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{2k-1}}{(2k-1)!}

On reconnaît le DSE de sh(\lambda) et par suite :

2\mathbb{E}(X) = e^{-\lambda}\lambda sh(\lambda) \Leftrightarrow  \mathbb{E}(X) =\frac{\lambda(1-e^{-2\lambda})}{4}

j'espère n'avoir pas fait d'autres erreurs. Si c'est le cas merci de votre aide.



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