Salut, une idée en regardant ici

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Soit

On pose et   et on considère et .

Il vient et

Pour , on peut prendre

Pour ou , on prend donc .

On peut poser , et considérer

Ouahhh ...

Impossible à trouver un truc pareil

Comme il s'agit d'un problème d'olympiade , on peut espérer une solution plus simple .

Si on est gourmand on peut regarder ce qui se passe si on remplace les quatre rationnels par une autre quantité .

Bravo en tout cas

Imod

Bonsoir,
On peut commencer par chercher quelques cas particuliers.
Pour le rationnel 1/4, je propose une solution plus simple que celle de matheux14 :

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Bonjour à tous.

Je doute que l'énoncé donné par Imod ait été proposé dans une olympiade.

Par contre, on trouve l'énoncé suivant dans une olympiade du Kazakhstan en 2013:

Montrer que tout rationnel s'écrit comme produit de rationnels dont la somme est nulle.

Cet exercice est beaucoup plus facile.
Je ne vous donne pas de référence pour vous laisser le plaisir de chercher ... et trouver.

Généralement je ne garde pas les liens vers les problèmes que je trouve intéressants , je me contente de les recopier . J'ai tout de même réussi à retrouver celui-là

Imod

Bonjour perroquet,
On risque de se mélanger les pinceaux avec deux énoncés différents.
Que penserais-tu d'ouvrir un autre sujet avec l'énoncé du Kazakhstan ?

Je ne suis pas sûr que ce soit une bonne idée , d'ailleurs je pensais prolongé l'exercice en faisant varier le nombre de rationnels pour voir si la propriété restait toujours valable . Pour 1 et 2 c'est clairement faux , je n'ai pas encore regardé pour 5 et au delà . Le fait de ne pas imposer la quantité de rationnels peut donner une idée de  la suite .

Mais laissons Perroquet décider

Imod

Bonjour.

Je suis de l'avis de Imod.

Une petite indication pour ma version de l'exercice.

Une réponse partielle pour l'extension de Imod.

Soit un rationnel quelconque.
s'écrit comme un produit de 4 rationnels dont la somme est nulle.  On peut alors écrire comme un produit  des 6 rationnels dont la somme est nulle.

On peut aussi écrire comme un produit de 5 rationnels dont la somme est nulle. Je vous laisse chercher une telle décomposition. NB: cette décomposition permettrait aussi de répondre à ma version de l'exercice.

Merci de relancer l'intérêt
Je ne sais pas si cette version pour -1/8 peut faire avancer le schmilblick :

Messages croisés

Pour la version Perroquet avec liberté sur le nombre de rationnels  .

On atteint facilement tous les entiers en ajoutant un nombre suffisant de +1 ou -1 . Pour les inverses des entiers pairs , ce n'est pas plus compliqué , par exemple pour 1/2 on choisit 1/2 , -1/2  ;  2 ; -1 ; -1 .

On doit pouvoir étendre à Q

Imod

Pour 1/2, je propose plutôt 1/2 , -1/2 ; -2 ; 1 ; 1

Un exemple d'inverse d'impair :
1/7 avec 1/7, -1/7, -7, 1, 1, 1, ... ,1.

Bonjour,

Soit U un rationnel.
Pour S non nul, on pose où S et D sont des paramètres rationnels.

Si on arrive à prouver qu'il existe un couple (S,D) de rationnels tels que P(X) a 3 racines rationnelles, alors on a répondu à la question. En effet, notons a, b, c les racines de P.
* a+b+c = S
* abc = -U/S = U/(-a-b-c) => U=(-a-b-c)abc qui est un produit de 4 rationnels dont la somme est nulle.

Mais quels que soient a et b des rationnels:
où

L'idée est de trouver un couple (S,D) annulant simultanément P(a) et Q(b), ce qui consiste à résoudre un système linéaire de 2 équations et 2 inconnues (S et D), dont tous les coefficients sont rationnels. Donc S et D sont rationnels.

En fait le problème de Perroquet est complètement résolu avec les résultats donnés par Sylvieg

Tous les n et 1/n ( n entier ) peuvent être obtenus ( il faut détailler les cas selon la parité et le signe de n ) . Ensuite , il suffit de combiner pour  x = a/b  car 0+0=0 et aX1/b=a/b .

Imod

Je n'avais pas réalisé que le passage aux rationnels quelconques était aussi simple une fois traité les entiers et les inverses d'entier !
Je vais tenter de récapituler les entiers et inverses.

Avec n un entier supérieur ou égal à 1 :

n = (-n) 1ⁿ 1 (-1).

-n = (-n) 1ⁿ.

1/n = (1/n) (-1/n) (-n) 1ⁿ

-1/2n = (1/2n) (-1/2n) 2n (-1)²ⁿ

-1/(2n+1) après le diner.

-1/(2n+1) = -2/(4n+2)
On sait traiter -2 et 1/(4n+2), donc le produit, en utilisant la méthode d'Imod à 17h51.

La nuit porte conseil. On peut faire plus simple.
Tout d'abord, j'avais oublié 0 : 0 = 0

Puis, avec p entier supérieur ou égal à 1 :
p = (-p) 1^p 1 (-1).
-p = (-p) 1^p.

Ensuite, avec q entier supérieur ou égal à 1 :
1/q = (1/q) (-1/q) (-q) 1^q

Enfin, tout rationnel peut s'écrire p/q avec p entier et q entier supérieur ou égal à 1.
On peut appliquer à p/q la méthode d'Imod.

En effet , c'est très court et très simple

J'ai regardé les cas où l'on considérait 1 , 2 ou 3 rationnels et dans chaque cas le rationnel 1 ne peut pas être atteint . Pour quatre rationnels la surjectivité a été établie ( un peu laborieusement ) .  Pour plus de quatre rationnels , j'ai l'impression qu'on retrouve la surjectivité mais sans aucune preuve .

Imod

Je n'ai pas réussi à montrer que 1 ne pouvait pas s'écrire comme produit de 3 rationnels dont la somme est nulle.

Je propose

On progresse avec les idées de Perroquet et les corrections de Sylvieg

Pour les trois rationnels dont le produit serait égal à 1 ou -1 .

Supposons qu'il existe deux rationnels a et b tels que ab(a+b)=1 , alors il existe des entiers relatifs m , n et k tels que a=m/k , b=n/k . On a alors l'égalité en entiers : mn(m+n)=k^3 . Notons d le PGCD de m et n alors m=dx , n=dy et xy(x+y)=(k/d)^3 . Comme x et y sont entiers , k/d l'est aussi , de plus x , y et x+y sont premiers entre eux deux à deux , alors chacun des entiers x , y et x+y est un cube . x=p^3 , y=q^3 et x+y=r^3 . On retrouve alors une variante connue depuis longtemps du théorème de Fermat-Wiles .

J'attends la suite avec impatience  

Imod

Moi aussi j'attends la suite avec impatience, et je m'amuse beaucoup.
Je trouve la solution de perroquet beaucoup plus belle que celle que j'avais rédigée hier.
Le nombre de facteurs y est vraiment réduit.

A petits pas avec sept rationnels :



Imod

Je préfère .

Plus généralement pour 4k+3 rationnels , on prend :

1 fois 4k/a .
2k fois -2/a
k+1 fois a/2
k+1 fois -a/2 .

Avec 4k+1 on a des problèmes de signes .

Imod

Non en fait le problème 4k+1 est vite résolu en prenant 1 fois -4k/a et 2k fois 2/a .

Imod

J'ai fini par comprendre que 4k+3 et 4k+1 sont le nombre de termes.

C'est ça , sauf erreur le problème est résolu pour un nombre impair de rationnels et comme c'est aussi résolu pour quatre rationnels , il ne reste plus qu'à traiter le cas des nombres pairs non divisibles par 4 . En fait 6 suffirait pour conclure si tout se passait bien .

Imod

En fait je me suis bien compliqué la vie pour peu de choses . En partant des résultats établis pour n=4 et n=5 rationnels , on obtient tous les autres par récurrence sur n . En effet en supposant le résultat établi jusqu'à n , pour tout rationnel x , -x peut s'écrire comme un produit de n rationnels dont la somme est nulle . Il suffit alors  d'ajouter 1 et -1 à cette liste pour obtenir une liste de n+2 rationnels dont la somme est nulle et dont le produit égal à x . Il ne reste plus qu'à trouver une démonstration élémentaire dans le cas n=4 .
Imod    

Je me suis repenchée sur la démonstration de matheux14.
Je n'ai rien trouvé d'extraordinaire

Je me contente de présenter un peu différemment le cas -1/8 :
En utilisant la formule du cas général pour -2, on obtient les 4 rationnels -18/15, 5/2, 5/6, 4/15.
Il suffit de les diviser par 2 pour "tomber" sur -1/8 :
-9/5, 5/4, 5/12, 2/15

_{* Sylvieg edit : ce n'est pas 15 mais 5 dans -18/15 *}

Je ne suis pas tout à fait d'accord . Il est clair que les trois cas particuliers laissés de côté par la formule générale peuvent être intuités de plusieurs façons mais ce n'est pas la vraie difficulté . On définit a , b , c et d  à partir de deux polynômes A et B de degré 1 .
On peut ensuite retrouver les coefficients à partir de l'égalité mais on peut écrire une multitude de formules avec A et B donnant un produit égal à x . Toutes ces formules donneront-elle une solution pour une somme nulle ? Si c'est le cas le problème est laborieux mais abordable , dans le cas contraire il faut une intuition hors du commun pour deviner la forme de la solution .

Imod

Je me suis fait mal comprendre :
En regardant plus en détail, j'aurais voulu trouver quelque chose de plus simple.
Échec...

Désolé , j'avais pris ton message à l'envers

Sinon , il n'est pas impossible qu'en partant d'une autre écriture de a , b , c et d  on arrive aussi à trouver des coefficients convenables pour A et B de degré 1 , ce qui rendrait l'exercice acceptable pour une olympiade .

Imod

Bonjour.

Je vois que tout a été trouvé.  




Cela donne une infinité de décompositions du rationnel en produit de 5 rationnels dont la somme est nulle.

On peut aussi décomposer tout rationnel d'une infinité de manières en produit de 4 rationnels dont la somme est nulle. Je ne  donne pas la formule parce que je ne la trouve pas belle.

C'est très étonnant,  il y a une infinité de décompositions d'un rationnel en produit de 4 rationnels dont la somme est nulle,  mais il a été difficile de le prouver. L'article cité par matheux14 donne une référence de 2003 où l'on trouve des décompositions des 50 premiers entiers naturels.  C'est un article en russe et je n'ai pas été capable de le trouver.

Un beau travail collectif comme je les aime

Il me semble que nous sommes d'accord pour reconnaitre que sans indice le problème initial est vraiment difficile mais il peut fournir un bel exercice avec quelques indications .

On note Qn l'ensemble des nombres rationnels pouvant s'écrire comme un produit de n rationnels dont la somme est nulle .

1°) Montrer que pour n<4 ,  Qn est différent de Q .

2°) On considère deux polynômes A et B de degrés 1 à coefficients rationnels , a=2A²/3b , b=-B/6 , c=-B/2a et d=18x/AB .

a) Montrer qu'on peut choisir les polynômes A et B pour que a+b+c+d=0 et abcd=x chaque fois que a , b , c et d sont définis .

b) Pour les x exclus du a) montrer que l'on peut tout de même  trouver des rationnels a , b , c et d tels que a+b+c+d=0 et abcd=x .

3°) Montrer que Q5=Q .

4°) Montrer que pour n>3 ,  Qn=Q .

Imod

Dans le 2°) certaines majuscules sont passées à la trappe , j'espère que chacun s'y retrouvera

Imod

Dans 1°, le cas n = 3 me semble délicat.
S'adresse-t-on à un public qui connait l'équation de Fermat-Wiles ?

Bonjour.

J'ai trouvé une autre décomposition du rationnel en produit de 4 rationnels dont la somme est nulle.

Je définis le rationnel tel que .
Ensuite  j'utilise l'égalité



On peut généraliser en remplaçant et par deux polynômes de degré 1...

En effet , c'est joli . Après il n'y a plus qu'à s'occuper des cas particulier x=-2 et x=4 .
Imod

4 = -4 4 1/2 (-1/2)

Pour trouver -1, on peut appliquer la formule à -16 ; puis diviser par 2 chaque facteur.

Le deuxième cas critique n'est pas -1 mais -2
Imod