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Somme - racine nième

Posté par
Dreamyy 04-10-18 à 17:38

Bonjour,

Je viens d'avoir une khôlle de maths juste avant et j'ai eu un exercice que je n'ai pas réussi à faire car apparemment, la khôlleuse avait oublié de me donner une indication ...  --' (j'ai eu 10 ...)

Enfin bref, serait-il possible que quelqu'un m'aide ? Merci d'avance


Voici l'énoncé :

Soit \omega \neq 0   tel que    \omega^{n} = 1   où   n^{*}

Calculer   S    où     \large S=\sum_{k=0}^{n-1}{(1+k)\omega ^{k}}

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 04-10-18 à 17:41

Bonjour
n'est-ce pas plutôt \omega \neq 1 ?

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 17:42

lafolOui excuse moi

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 17:46

Bonjour ,

C'est qui a dérivée de x^{k+1} ?

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 17:50

Salut Razes ^^

La dérivée de x^{k+1} est  (k+1)x^{k}

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 17:50

Je pose P = (1+\omega )^{k} ?

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 17:54

Oulaaa que dis-je non, il n'y a pas les coefficients binomiaux. J'ai rien dis ^^

La prof m'a dit à la fin que l'indication était de multiplier par 1- ou un truc dans le genre ...

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 04-10-18 à 17:55

comme pour le calcul de la somme géométrique : oméga S - S télescope ....

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 17:59

Euhhh, serait-il possible d'avoir un peu plus d'infos lafol ? Merci encore

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:08

Dreamyy @ 04-10-2018 à 17:50

Salut Razes ^^

La dérivée de x^{k+1} est  (k+1)x^{k}
Et la dérivée de f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}{x ^{k}}, ceci ne te dit rien?

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:11

Pardon: f(x)=\sum_{k=0}^{n}{x ^{k}}, f'(x)=...?

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:12

calcule omega multiplié par S, fais le changement d'indice pour calculer omega S moins S, tu vas voir, ça s'arrange bien

Razes, en début de sup, les dérivées de variable complexe, pas trop trop !

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:14

Bonjour lafol,
Dérivée de fonction à variable réelle.

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:15

et après tu fais quoi avec oméga ? qui n'est pas réel ...

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:23

Razes
J'obtiens :

\sum_{k=0}^{n-1}{(k+1)x^{k}}
Il faut évaluer en oméga non ?


lafol
J'obtiens :

\omega S= \sum_{k=0}^{n-1}{(1+k)\omega ^{k+1}}
\omega S-S= \sum_{k=0}^{n-1}{(1+k)\omega ^{k+1}} - \sum_{k=0}^{n-1}{(1+k)\omega ^{k}}


Je ne vois pas où faire le changement d'indice ... :/

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:24

pour n'avoir que des puissances k
pose k' = k+1 dans la première somme

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:24

Poser l=k+1 ?

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:25

posts croisés : oui

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:27

Oui posts croisés ^^'

Donc j'obtiens cela :

On pose l=k+1

\large \omega S=\sum_{l=1}^{n}{l\omega ^{l}}

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:35

La fonction à variable réelle sert seulement à faire du calcul algébrique. Une fois déterminée la somme de l'expression rien ne nous empêche de l'utiliser sur C.

On ne travaille avec des fonctions holomorphe, ni de fonctions du tout.

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:37

Je vais faire genre que je comprends quelque chose ^^'Razes.

Donc si j'applique ta méthode que dois-je faire par la suite ? stp

C'est cool comme ça j'aurais 2 méthodes :p

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 18:47

f(x)=\sum_{k=0}^{n}{x ^{k}}=... somme de suite géométrique avec x\neq 1

f'(x)=\sum_{k=1}^{n}{kx ^{k-1}}=... dérivée de l'expression trouvée

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 19:33

\large f(x)=\sum_{k=0}^{n}{x ^{k}}= \frac{x^{n+1}-1}{x-1}

\large f'(x)=\sum_{k=1}^{n}{kx ^{k-1}}= \frac{(n+1)x^{n}(x^{n}-1)-(x^{n+1}-1)(x^{n}n)}{(x^{n}-1)^{2}} = \large \frac{x^{n}(n+1-nx)}{(x^{n}-1)^{2}}

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 19:33

Et donc pour la méthode de lafol je fais comment ? :/

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 19:53

la dérivée est fausse.

Posté par
Zrunre : Somme - racine nième 04-10-18 à 20:02

Une autre méthode possible est de passer par une somme double et d'inverser les deux sommes

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 20:05

Finissons en une au moins.

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 20:13

Dreamyy @ 04-10-2018 à 19:33

Et donc pour la méthode de lafol je fais comment ? :/

\large \omega S=\sum_{l=1}^{n}{l\omega ^{l}}=\sum_{l=1}^{n}\left ({(l+1)\omega ^{l}-\omega ^{l}}  \right )

Posté par
Zrunre : Somme - racine nième 04-10-18 à 20:23

Razes @ 04-10-2018 à 20:05

Finissons en une au moins.

Tout à fait d'accord . Je donne juste des idées alternatives. En prépa , l'essentiel est d'avoir des idées sur chaque nouvelle situation , ce qui implique de voir plein de technique pour forger son esprit de réflexion ! Je vous laisse terminer la première méthode !

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 20:24

Merci beaucoup pour ta méthode Zrun. On regarde juste après.

Donc là, c'est une somme télescopique non ?

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 04-10-18 à 21:42

Si

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 22:06

D'accord,

Donc,

S = \frac{(n+1)}{\omega } - 1

Est ce correct ?

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 22:10

Razes @ 04-10-2018 à 20:13

\large \omega S=\sum_{l=1}^{n}{l\omega ^{l}}=\sum_{l=1}^{n}\left ({(l+1)\omega ^{l}-\omega ^{l}}  \right )
Tu peux séparer le membre de droite en deux sommes afin de retrouvert S Puis. ..

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 22:25

Dreamyy @ 04-10-2018 à 22:06

S = \frac{(n+1)}{\omega } - 1    Est ce correct ?
Non

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 04-10-18 à 22:50

Je retombe à chaque fois sur le résultat d'avant. Je tourne en rond dans les égalités ... je n'y arrive pas

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 04-10-18 à 23:35

\omega S=\sum_{l=1}^{n}{l\omega ^{l}}=\sum_{l=1}^{n}\left ({(l+1)\omega ^{l}-\omega ^{l}} \right )=\sum_{l=1}^{n}{(l+1)\omega ^{l}-\sum_{l=1}^{n}\omega ^{l}}

Avec: S=\sum_{k=0}^{n-1}{(k+1)\omega ^{k}}

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 05-10-18 à 00:01

\omega S - S = \sum_{k=1}^n k\omega^k - \sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k \\ \\ =\sum_{k=1}^{n-1} k\omega^k + n\omega^n - (0+1)\omega^0-\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)\omega^k \\ \\ =n\omega^n - \omega^0 - \sum_{k=1}^{n-1}\omega^k \\ \\ =n -\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = n

et donc S = \dfrac{n}{\omega -1}

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 05-10-18 à 13:30

Merci Razes ! Cependant je ne comprends pas très bien. Je dois par la suite diviser par w ?

Lafol,

Pourquoi -\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = n ?

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 05-10-18 à 13:54

Bonjour,

Je te rappeler que le calcul de 04-10-18 à 23:35 est une étape de la proposition de lafol et le résultat à été donné par lafol juste après. Je n'ai rien à ajouter sauf que tu dois être rigoureux dans les calculs.

Tu avais une erreur dans le calcul de la dérivée  

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 05-10-18 à 14:13

Dreamyy @ 05-10-2018 à 13:30



Lafol,

Pourquoi -\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = n ?


faut changer de lunettes, mon gars !

lafol @ 05-10-2018 à 00:01

\omega S - S =\dots \\ \\ ={ \red n -}\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = n

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 05-10-18 à 16:55

Rebonjour,

lafol

J'étais dans le train et j'étais sur le téléphone ... c'est pas très évident ! Et je fais souvent des erreurs avec le latex vu c'est galère de copier ... On m'a déjà fait la remarque sur l'île ... Je vais arrêter
Merci beaucoup à vous deux (et aux autres bien évidemment), j'ai compris.

Une dernière question pour Razes :
Lorsque je fais ta méthode :

On a :

\large f(x)=\sum_{k=0}^{n}{x ^{k}}= \frac{x^{n+1}-1}{x-1}

\large f'(x)=\sum_{k=1}^{n}{kx ^{k-1}}=\frac{x^{n}(nx-n-1)+1}{(x-1)²}

J'évalue en   \omega  et j'obtiens :

\large \sum_{k=1}^{n}{k\omega ^{k-1}}=\frac{\omega ^{n}(n\omega -n-1)+1}{(\omega -1)²} =\frac{n\omega -n}{(\omega -1)²}=\frac{n(\omega-1)}{(\omega -1)²} = \frac{n}{(\omega -1)}

Cependant la somme ne va pas de k=0   à   n-1
Et mon f'(x) ne correspond pas ce que je recherche si ?

Merci d'avance !

Bonne journée et bon week-end ^^

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 05-10-18 à 17:28

Comment tu dérive f (x)=\frac uv?

u (x)=x^{n+1}-1; v (x)=x-1

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 05-10-18 à 19:02

Oui je fais un u/v.

(u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x)^2)

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 05-10-18 à 19:25

u'(x)v(x) - u(x)v'(x) donne quoi?

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 05-10-18 à 20:36

Je viens de demander à un ami et il trouve également la même chose que moi. Je suis sur téléphone je t'ecris La réponse dès que je rentre mais ça m'en parait bizarre ..

Posté par
Razesre : Somme - racine nième 05-10-18 à 23:11

Dreamyy @ 05-10-2018 à 16:55

J'évalue en   \omega  et j'obtiens :

\large \sum_{k=1}^{n}{k\omega ^{k-1}}=\frac{\omega ^{n}(n\omega -n-1)+1}{(\omega -1)²} =\frac{n\omega -n}{(\omega -1)²}=\frac{n(\omega-1)}{(\omega -1)²} = \frac{n}{(\omega -1)}

Cependant la somme ne va pas de k=0   à   n-1
Et mon f'(x) ne correspond pas ce que je recherche si ?
Il te suffisait de procéder à un simple changement d'indice: i=k-1,
\sum_{k=1}^{n}{k\omega ^{k-1}}=\sum_{i=0}^{n-1}{(i+1)\omega ^{i}} et le tour est joué.

Posté par
Dreamyyre : Somme - racine nième 05-10-18 à 23:56

pas bête, merci encore !
Bonne soirée :p

Posté par
lafol Moderateurre : Somme - racine nième 06-10-18 à 14:33

Et comment tu justifies le remplacement de x par un complexe non réel dans une relation prouvée pour tout x réel différent de 1 ?


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