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Niveau Licence Maths 1e ann
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somme Riemann

Posté par
maths19 15-03-18 à 21:22

Bonjour voila l'énnoncer

soit f: [0,] une fonction de classe C^1

(1) Montrer que pour tout n * , on a :

\int_0^{\pi} f(t) |sin(nt)| dt= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}  \int_k\pi^{(k+1)\pi} f(\frac{u}{n}) |sin(u)| du = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}  \int_0^{\pi} f(\frac{x+k\pi}{n}) sin(x) dx

(2) En utilisant le fait que f est de classe C^1 , montrer qu'il existe une constante C telle que

n * :

| \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}  \int_0^{\pi} [ f(\frac{x+k\pi}{n}) - f(\frac{k\pi}{n}) ] sin(x) dx |   ≤   \frac{C}{n}
(3) Montre que :

\int_0^{\pi} f(t) |sin(nt)| dt => frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) dt quand n=>


J'ai du mal a comprendre pour la 1 faut t'il faire une recurence ou autre chose ( si réccurence pouvez vous m'aider pour la recurence)

Pour la deux j'ai essayer un truc mais je suis pas sur de moi

Pour la Trois je ne sais pas comment faire

merci ^^

Posté par
carpediemre : somme Riemann 15-03-18 à 22:04

salut

faire le changement de variable u = nt ...

Posté par
maths19re : somme Riemann 16-03-18 à 02:43

donc il ne faut pas faire de recurence ?

Posté par
carpediemre : somme Riemann 16-03-18 à 08:48

bon il veut pas faire/essayer ce qu'on lui dit .... tant pis ...

Posté par
maths19re : somme Riemann 16-03-18 à 10:34

si si je vais le faire mais c'est une question car je pensais attendais je fais ce que vous me dite je vous l'envoie quand c'est fait

Posté par
lakere : somme Riemann 16-03-18 à 12:01

Bonjour,

  

Citation :
(3) Montre que :

\int_0^{\pi} f(t) |sin(nt)| dt => frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) dt


Ou \int_0^{\pi}f(t)\,|\sin\,t|\,\text{d}t\geq \frac{2}{\pi}\,\int_0^{{\red 1}}f(t)\,\text{d}t ?

Posté par
jandri Correcteurre : somme Riemann 16-03-18 à 12:23

Bonjour lake,

le résultat qu'il faut démontrer dans cet exercice est bien:
la limite de la suite \\ \int_0^{\pi} f(t) |sin(nt)| dt est égale à \dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) dt

Posté par
lakere : somme Riemann 16-03-18 à 12:25

Je viens de voir que je  me suis trompé; merci jandri

Posté par
luzakre : somme Riemann 16-03-18 à 18:00

Bonsoir !
Pour la 3., sans utiliser la classe C^1, le résultat s'obtient par encadrement des sommes de Darboux de f relatives à la subdivision \dfrac{k\pi}n,\;0\leqslant k\leqslant n.

Si m_k,\;M_k désignent les bornes de f sur chaque intervalle :

m_k\int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n}|\sin(nt)|\mathrm{d}t\leqslant\int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n}f(t)|\sin(nt)|\mathrm{d}t\leqslant M_k\int_{k\pi/n}^{(k+1)\pi/n}|\sin(nt)|\mathrm{d}t

et la valeur de l'intégrale de |\sin| vaut \dfrac2n=\dfrac2{\pi}\;\Bigl(\dfrac{(k+1)\pi}n-\dfrac{k\pi}n\Bigr) et il reste à faire la somme.

Posté par
maths19re : somme Riemann 19-03-18 à 18:36

j'ai pas compirs ...

Posté par
luzakre : somme Riemann 20-03-18 à 08:35

Reprends (il suffit de faire un copier-coller après avoir cliqué sur "voir le code source" : le "S" couché juste avant la date et l'heure) ce que j'ai écrit, ligne par ligne, en précisant ce que "j'ai pas compirs"....


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