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Somme trigonométrique

Posté par
Serphone 25-09-19 à 12:57

Bonjour,
Voilà un exercice que j'ai réussi à résoudre (je pense) mais je ne comprends pas une des conditions nécessaires à la formule.
L'énoncé: Soit p \in \N^{*} et n \geq 2p+1. Montrer que pour tout x \in \R,:
\sum_{q=0}^{2n-1}{cos^{2p}(x+\frac{q\pi}{2n})} = 2n\frac{{2p\choose p}}{2^{2p}}

Ma démonstration:
\sum_{q=0}^{2n-1}{cos^{2p}(x+\frac{q\pi}{2n})} = \sum_{q=0}^{2n-1}{\left(\frac{e^{i(x+\frac{q\pi}{2n})}+e^{-i(x+\frac{q\pi}{2n})}}{2} \right)}^{2p} = \frac{1}{2^{2p}} \sum_{q=0}^{2n-1} \sum_{k=0}^{2p} {2p\choose k} e^{i(x+\frac{q\pi}{2n})k} e^{-i(x+\frac{q\pi}{2n})(2p-k)} = \frac{1}{2^{2p}} \sum_{q=0}^{2n-1} \sum_{k=0}^{2p} {2p\choose k} e^{i(x+\frac{q\pi}{2n})(2k-2p)}


Puis on inverse les sommes pour obtenir:
\frac{1}{2^{2p}} \sum_{k=0}^{2p} {2p\choose k} e^{ix(2k-2p)} \sum_{q=0}^{2n-1} {(e^{i\frac{(k-p)\pi}{n}})}^{q}

La somme en q est égale à 2n si k = p [2n] et nulle sinon. Ce qui donne la formule recherchée.

Par contre je ne comprends pourquoi il faut qu'on ait n \geq 2p + 1 ?
(J'ai essayé sur des petites valeurs pour n et p - n=2, p=1 ou n=2, p=2 par exemple et ça marche quand même).

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Somme trigonométrique 25-09-19 à 14:56

salut

ça semble raisonnable ... mais tout de même je ne comprends pas comment les x "disparaissent" ...

quant à la condition n > 2p, elle doit surement être nécessaire pour les coefficients binomiaux ...

Posté par
Serphonere : Somme trigonométrique 25-09-19 à 15:33

Bonjour,

Ils ne disparaissent pas mais comme on ne garde que le terme k=p dans la somme il vient e^{ix(2k-2p)}=1

Pour la condition n > 2p, justement elle n'a pas l'air nécessaire et c'est ce qui me chiffonne puisque ça marche aussi pour n=2, p=2 ou n=2, p=1. Ou alors je suis passé à côté de quelque chose.


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