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somme triogonométrique

Posté par basso (invité) 24-07-05 à 22:44

Bonsoir

voilà une petite somme sympatique, qu'il est demandé de simplifier, je trouve qqc mais je ne sais pas si c'est assez simple :

\Bigsum_{k=1}^n cos^2(kx) et il s'agit de simplifier cette somme.

en partant du fait que cos^2(kx)=\frac{4$e^{2ikx}+e^{-2ikx}+2}{4$4}
alors
\Bigsum_{k=1}^n cos^2(kx)=0.5\times {(cos(2x)+cos(4x)+...+cos(2nx)+n)}
mais je crois que ce n'est toujours pas assez simple.

Alors j'ai essayé de mettre sous la forme de somme de deux suites géométriques de raisons respectives 4$e^{2ix} et 4$e^{-2ix} et d'appliquer les formules, seulement je m'enlise et je ne trouve pas de simplification ...

si vous pouviez m'aider ce serait gentil à vous
merci



Posté par biondo (invité)re : somme triogonométrique 24-07-05 à 22:58

Il est tard... pas trop de latex a cette heure. Je vais essayer "en francais dans le texte"... Tu me diras...

dasn tes sommes de suites geometriques, tu dois avoir au denominateur qqchose comme

1-exp(2ix)

ca se factorise en
exp(ix) * (exp(-ix) - exp(ix))


Tu fais pareil pour l'autre, tu reduis tout au meme denominateur, tu devrais arriver a faire apparaitre des sin un peu partout...


Si tu n'y arrives pas je ferai le calcul et je te le posterai..

Courage! Tu etais sur la bonne voie...



Posté par basso (invité)re : somme triogonométrique 24-07-05 à 23:05

ok j'ai même fait ce que tu as fait ... seulement j'ai pas réussi à faire disparaitre les parties imaginaires j'ai du faire une erreur ... je reverrai ça, seulement j'avoue que ce sera pour demain matin !

merci beaucoup
bonne soirée

Posté par jmix90 (invité)Réponse 25-07-05 à 00:19

Bonjour,

Bon je m'y colle pour une fois que je peux aider quelq'un !!

Donc tu factorise comme t'as dit biondo tu fais 2/3 calculs et tu arrives finalement a ça :
S= \frac{1}{8} \times {(\frac{sin(x) - sin(2x(n+1))}{sin(x)^2})} - \frac{n}{2}

Je te donne pas le détail(la flemme), tu devrais retrouver en ayant la solution !!

Amicalement,

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:somme triogonométrique 25-07-05 à 01:57

Bonjour tout le monde,juste une petite idée avec:
\{{C_n=\Bigsum_{k=1}^{k=n}cos^2(kx)\atop\ S_n=\Bigsum_{k=1}^{k=n}sin^2(kx) on a \{{C_n+S_n=n\atop\ C_n-S_n=\Bigsum_{k=1}^{k=n}cos(2kx) d'où:
C_n=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\Bigsum_{k=1}^{k=n}cos(2kx)
et avec \Bigsum_{k=1}^{k=n}cos(2kx)=Re(\Bigsum_{k=1}^{k=n}e^{2ikx}) je crois que tu arrives au résultat de jmix90.

Posté par jmix90 (invité)oui 25-07-05 à 09:13

Oui, c'est vrai que ca simplifie beaucoup les calculs !

Je pense jamais a ce genre d'astuce ;( !

Posté par
soucoure : somme triogonométrique 25-07-05 à 10:00

Bonjour, désolé pour mon incrustations

Mais dans ton système elhor_abdelali, n'a t-on pas plutôt C_n+S_n=1



Merci

Posté par titimarion (invité)re : somme triogonométrique 25-07-05 à 11:36

non elhor_abdelali a raison Cn+Sn=n.
en effet cos²+sin²=1
Donc\displaystyle \sum_{k=1}^n cos^2+sin^2=\sum_{k=1}^n1=n

Posté par
soucoure : somme triogonométrique 25-07-05 à 12:04

Effectivement je ne savais pas que \displaystyle\Large\sum^n_{k=1}1=n.

Autant pour moi

Posté par basso (invité)re : somme triogonométrique 25-07-05 à 14:15

merci beaucoup de votre aide !
voilà je m'en suis sortie avec ma somme

à bientôt sur l'île

basso

Posté par jmix90 (invité)de rien 25-07-05 à 21:59

De rien !


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