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Sommes

Posté par
pfff 20-10-20 à 22:36

Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre cet exercice. Merci de m'aider

ÉNONCÉ

Montrer que pour tout entier n 2,

T_n = \sum_{k=2}^{n}{k(k-1)}n\choose k² = n(n-1)2n-2\choose n-2

je suis passé par la récurrence. J'ai pu prouver l'initialisation P(2) = 2

Au niveau de l'hérédité je suis bloqué

Posté par
bbjhakanre : Sommes 20-10-20 à 23:36

bonsoir
en attendant que quelqu'un te débloque dans ta récurrence (que je ne parviens pas à terminer non plus), tu peux peut-être considérer \forall x \in \R, \forall n \geq 2, f(x)=(1+x)^n
et écrire x²f(x)f''(x) sous deux formes différentes puis d'essayer de voir à quoi correspondent les termes de ton égalité

Posté par
pfffre : Sommes 20-10-20 à 23:38

d'accord

Posté par
pfffre : Sommes 20-10-20 à 23:42

je vais du fait que (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n}{x^k}n\choose k \\

Posté par
bbjhakanre : Sommes 20-10-20 à 23:45

oui c'est bien ça
écrire ensuite x²f(x)f''(x) avec les deux formes de f  et essayer d'identifier les termes de l'égalité demandée

Posté par
pfffre : Sommes 20-10-20 à 23:46

oui mais la somme commence en deux jusqu'a n donc je sais pas si il ya quelque chose à faire avant de dériver

Posté par
bbjhakanre : Sommes 20-10-20 à 23:51

quand tu dérives deux fois f, ta somme commence aussi à k=2

Posté par
pfffre : Sommes 20-10-20 à 23:53

ok j'essaie pour voir merci monsieur

Posté par
bbjhakanre : Sommes 20-10-20 à 23:55

et puis on peut même considérer qu'elle commence à 0 ta somme puisque si k =0 ou k=1 l'un de tes facteurs est nul et t'as donc bien de nouveau la somme de 2 à n

Posté par
pfffre : Sommes 21-10-20 à 00:02

(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n}{nCk\: x^k}

n(1+x)^n^-^1 = \sum_{k=1}^{n}{nCk\: k\: x^{k-1}}

n(n-1)(1+x)^{n-1} = \sum_{k=2}^{n}{nCk\: k(k-1)\: x^{k-2}}

je fais comment pour avoir (nCk)² ?

Posté par
bbjhakanre : Sommes 21-10-20 à 00:05

quel est le coefficient de xn dans les deux expressions de x2f(x)f''(x) ?
je vais y aller, je te répondrai demain si jamais !

Posté par
pfffre : Sommes 21-10-20 à 00:07

à gauche on aura 2
et à droite on aura k

Posté par
bbjhakanre : Sommes 21-10-20 à 07:25

non
d'une part x²f(x)f''(x)=n(n-1)x²(1+x)^{2n-2} que tu peux réécrire à l'aide du binôme de Newton pour en extraire le coefficient du terme en xn

d'autre part, x²f(x)f''(x)=\left(\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}x^k \right)\left(\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}k(k-1)x^k \right)}
que vaut le coefficient du terme en xn ici?

Posté par
flightre : Sommes 21-10-20 à 11:28

salut

il y a plus simple , penser que k.C(n,k)= n.C(n-1,k-1) et la somme devient tres simple à calculer

Posté par
lakere : Sommes 21-10-20 à 11:50

Bonjour à tous,

  >>flight

  N'aurait-il pas été préférable d'attendre que les échanges entre pfff et bbjhakan soient terminés avant d'intervenir ?

Plus simple ? A condition que pfff connaisse l'identité de Vandermonde.

Posté par
flightre : Sommes 21-10-20 à 11:54

salut lake ..j'ai juste donné une indication

Posté par
bbjhakanre : Sommes 21-10-20 à 13:48

comme le précise lake, je ne connaissais pas l'identité de Vandermonde et j'ai proposé une autre piste

bbjhakan @ 20-10-2020 à 23:36

en attendant que quelqu'un te débloque dans ta récurrence


en tout cas merci pour l'intervention, ça me permet d'en apprendre aussi

Posté par
pfffre : Sommes 21-10-20 à 22:32

bbjhakan @ 21-10-2020 à 07:25

non
d'une part x²f(x)f''(x)=n(n-1)x²(1+x)^{2n-2} que tu peux réécrire à l'aide du binôme de Newton pour en extraire le coefficient du terme en xn

d'autre part, x²f(x)f''(x)=\left(\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}x^k \right)\left(\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}k(k-1)x^k \right)}
que vaut le coefficient du terme en xn ici?


c'est possible de multiplier ces deux sommes ?

Posté par
pfffre : Sommes 22-10-20 à 12:04

Posté par
bbjhakanre : Sommes 22-10-20 à 15:47

qu'est-ce qui te pose problème dans ce produit?

Posté par
pfffre : Sommes 22-10-20 à 22:04

\left(\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}x^k \right)\left(\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}k(k-1)x^k \right)} = \left(\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}²k(k-1)x^2^k \right)}

Posté par
pfffre : Sommes 22-10-20 à 22:11

je pense que ce que je viens de faire n'est pas possible.... Je ne vois pas ce qu'il faut faire

Posté par
pfffre : Sommes 23-10-20 à 00:28

flight @ 21-10-2020 à 11:28

salut

il y a plus simple  , penser que  k.C(n,k)= n.C(n-1,k-1) et la somme devient tres simple à calculer


j'ai pas bien compris

Posté par
GBZMre : Sommes 23-10-20 à 10:48

Bonjour,

Ce à quoi flight faisait allusion, c'est, je pense :

\begin{aligned}\large T_n &= \sum_{k=2}^{n}k(k-1){n\choose k}^2 = \sum_{k=2}^{n} n(k-1){n-1\choose k-1}{n \choose k}\\&=\sum_{k=2}^{n} n(n-1){n-2\choose k-2}{n \choose k}=n(n-1)\sum_{k=2}^{n} {n-2\choose k-2}{n \choose n-k}\\&=n(n-1)\sum_{\ell=0}^{n-2} {n-2\choose \ell}{n \choose n-2-\ell}=n(n-1){2n-2\choose n-2}\end{aligned}

Posté par
flightre : Sommes 23-10-20 à 13:08

exactement GBZM

Posté par
pfffre : Sommes 23-10-20 à 15:55

Ok merci monsieur
Mais avant je vais démontrer la formule de Vandermonde
Passer une bonne fin de journée

Posté par
pfffre : Sommes 23-10-20 à 21:36

je veux démontrer par récurrence la formule de Vandermonde mais je commence par 0 or dans l'exercice on commence à 2. Comment je dois faire ?, Dois-je démontrer à partir de 2 aussi ?

Posté par
pfffre : Sommes 23-10-20 à 22:51

pfff @ 23-10-2020 à 21:36

je veux démontrer par récurrence la formule de Vandermonde mais je commence par 0 or dans l'exercice on commence à 2. Comment je dois faire ?, Dois-je démontrer à partir de 2 aussi ?

Ignorez ce message

Ma véritable question est comment je peux démontrer par récurrence l'identité de Vandermonde qu'est :

\sum_{k=0}^{n}{\binom{p}{k}\binom{q}{n-k}} = \binom{p+q}{n}

Posté par
GBZMre : Sommes 23-10-20 à 23:47

La récurrence ne me paraît pas la meilleure idée.
Un raisonnement combinatoire : compter de deux façons différentes le nombre de parties à n éléments de la réunion disjointe d'un ensemble à p éléments et d'un ensemble à q éléments.

Posté par
pfffre : Sommes 24-10-20 à 00:54

J'ai essayé avec cette méthode mais je suis bloqué

on a : (1+x)^{p+q} = (1+x)^p(1+x)^q

(1+x)^{p+q} = \sum_{k=0}^{p+q}\binom{p+q}{k}x^k

(1+x)^p(1+x)^q = \sum_{k=0}^{p}{\binom{p}{k}x^k}\sum_{k=0}^{q}{\binom{q}{k}}x^k
      
qu'est ce que je dois faire ensuite ?

Posté par
pfffDémonstration Sommes 24-10-20 à 09:38

Bonjour, je n'arrive pas à comprendre cette formule. Merci de m'aider

ENONCE

m,n , le produit de deux polynomes est donné par la relation :

(\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i})(\sum_{j=0}^{m}{b_jx^j}) = \sum_{r=0}^{m+n}{(\sum_{k=0}^{r}{a_kb_{r-k})}}x^r

je ne sais pas d'ou le r vient et comment c'est fait cette séparation

*** message déplacé ***

Posté par
manu_du_40re : Démonstration Sommes 24-10-20 à 09:45

Bonjour,

le r est l'indice de sommation donc tu peux remplacer par la lettre que tu veux.

Sinon, tu peux voir x^r comme x^{i+j} pour t'aider.

Exemple (avec un polynôme de degré 3 et un de degré 2

P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 et Q(x)=b_2x^2+b_1x+b_0

Si je veux calculer le terme de degré 2 de P(x)Q(x), en développant, je vais bien obtenir comme coefficient du terme de degré 2 la somme des a_i b_j tels que i+j=2

*** message déplacé ***

Posté par
pfffre : Démonstration Sommes 24-10-20 à 09:52

ah ok j'ai bien compris

Dans un devoir je peux l'utiliser ?

*** message déplacé ***

Posté par
pfffre : Sommes 24-10-20 à 09:54

Bonjour Manu du 40 m'a montré la voie.
Donc je pourrai terminer, merci

Posté par
manu_du_40re : Démonstration Sommes 24-10-20 à 09:56

Citation :
Dans un devoir je peux l'utiliser ?


La formule ? Bien sûr

*** message déplacé ***

Posté par
pfffre : Démonstration Sommes 24-10-20 à 09:57

ok merci bien

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Démonstration Sommes 24-10-20 à 10:09

salut

\left( \sum_0^r a_k b_{r - k} \right)x^r = \sum_0^r a_kr^kb_{r - k}x^{r - k} ...

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration Sommes 24-10-20 à 11:07

Bonjour à tous,
hum...ceci a-t-il à voir avec cela ? Sommes

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Démonstration Sommes 24-10-20 à 11:17

ouais p't-être bien que ouais ...

pfff est un habitué pour ouvrir un fil et poser des questions annexes à un sujet ...



*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Sommes 24-10-20 à 11:42

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
pfffre : Sommes 24-10-20 à 13:28

J'avais pas vu de cette manière. Désolé


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