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Sommes de nombres premiers****

Posté par
Victor
30-10-04 à 18:11

Quatre nombres premiers (positifs) ont pour somme un nombre premier.
Tous les chiffres nécessaires à l'écriture de ces cinq nombres premiers sont différents.
Quels sont ces cinq nombres ?

Remarque :
un nombre premier est un entier naturel qui a exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.

Clôture de l'énigme : lundi midi.
Bon courage...

Posté par
muriel Correcteur
re : Sommes de nombres premiers**** 30-10-04 à 18:17

perduvoilà mes 5 nombres:
2; 3; 5; 7; et, 17
2+3+5+7=17

Posté par tomasson (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 30-10-04 à 18:22

perduassez simple
3+5+7+11+17=43 nombre premier

Posté par minotaure (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 30-10-04 à 20:59

gagnésalut voila ma reponse :

2,5,7,89,103 sont des nombres premiers.
Tous les chiffres nécessaires à l'écriture de ces cinq nombres premiers sont différents et 2+5+7+89=103.


Posté par titimarion (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 30-10-04 à 22:15

gagnéSoit a+b+c+d=e, a<b<c<d<e et tous premier écrit avec des chiffres distincts,
a=2 car sinon e est pair
De plus supposons b différent de 5, alors forcément
on a b,c, et d qui finisse par 3,7 ou 9(dans un ordre quelonque) et e finit par 1
Tous les autres cas ne sont pas envisageables car un nombre premier >5 finit par 1,3,7 ou 9
Si b=5
il reste deux possibilitées
c et d finisse par 7 et 9 et e finit par 3
c et d  finissent par 1 et 9 et e finit par 7
après j'ai pu constater que 2+5+7+89=103 donc je n'ai pas cherché a savoir si un raisonnement permettait d'aboutir au résultat ni si la solution est unique, j'ai quand même d'autres choses à faire.
Donc je propose
a=2
b=5
c=7
d=89
e=103
Qui est du moins la solution faisant intervenir les plus petit nombre premier tel que ca marche
  

Posté par claireCW (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 31-10-04 à 00:12

gagnéA priori, il faut rester en dessous de 100, puisqu'il faut que tous les chiffres soient différents.

Tous les nombres premiers sauf 2 sont impairs.
La somme de 4 nombres impairs est un nombre pair, donc pas un nombre premier.
2 est forcément dans la somme.

Les 3 autres nombres peuvent s'écrire
10*a1 + b1; 10*a2 + b2; 10*a3 + b3;
Le résultat peut s'ecrire : 10*a + b;

On va commencer par chercher b1, b2, b3 et b tous différents les uns des autres, tels que b1+b2+b3 = 10x + b.

Tout nombre premier (<> 2) finit nécessairement par 1, 3, 5, 7 ou 9, donc b1, b2, b3 sont à choisir parmi ces valeurs.

2+1+3+5 = 11  b1 = b donc NON
2+1+3+7 = 13  b2 = b donc NON
2+1+3+9 = 15  Un nombre finissant par 5 n'est pas premier, si ce n'est pas 5 lui-même, donc NON
2+1+5+7 = 15  Un nombre finissant par 5 n'est pas premier, si ce n'est pas 5 lui-même, donc NON
2+1+5+9 = 17  Possible
2+3+5+7 = 17  b3 = b donc NON
2+3+5+9 = 19  b3 = b donc NON
2+3+7+9 = 21  Possible
2+5+7+9 = 23  Possible

Vérifions s'il y a des solutions avec 2; 1; 5; 9;
Le chiffre des unites de la somme est 7
Le seul nombre premier finissant par 2 est 2
Le seul nombre premier finissant par 5 est 5

Pour les chiffres des dizaines, on ne peut utiliser que 3; 4; 6; 8
avec 9, le seul nombre premier possible est 89

2+5+1+89 = 97. Quel que soit le chiffre qu'on utilise pour mettre devant 1, le résultat sera de 100 et quelque.Or 1 est déjà utilisé. DOnc pas de solution avec 2; 1; 5; 9;

Vérifions s'il y a des solutions avec 2; 3; 7; 9;
Le chiffre des unites de la somme est 1
Le seul nombre premier finissant par 2 est 2

Pour les chiffres des dizaines, on ne peut utiliser que 4; 5; 6; 8

Le chiffre des unités de la somme est 1. 2 et 3 sont aussi déjà utilisés, donc le résultat de la somme doit être < 100. Comme les deux chiifres les plus petits utilisables pour les unités (4 et 5) ont pour somme 9, et qu'il y a déjà une retenue de 2, cela veut dire qu'on ne peut en utiliser qu'un.

2, 3 et 7 sont premiers, 9 ne l'est pas.Il faut donc utiliser le nombre supérieur à 10 pour utiliser 9.

La seule possibilité est 59. Or 2+3+7+59 = 71.
Cela reviendrait à utiliser 7 deux fois, donc pas de solution avec 2; 3; 7; 9;

Vérifions s'il y a des solutions avec 2; 5; 7; 9;
Le chiffre des unites de la somme est 3
Le seul nombre premier finissant par 2 est 2
Le seul nombre premier finissant par 5 est 5

Pour les chiffres des dizaines, on ne peut utiliser que 1; 4; 6; 8

Les différentes options sont 19 ; 89

Avec 19 : on peut avoir 47, 67.
2+5+19+47 = 73  Pas une solution
2+5+19+67 = 93  Pas une solution

Avec 89 : on peut avoir 7, 17, 47, 67
2+5+89+7 = 103  Solution

Si on ajoute un chiffre des dizaines devant 7, on aura le même chiffre des dizaines dans le résultat, donc c'est la seule solution pour 2; 5; 7; 9;

Je suis donc sûre que 2+5+7+89 = 103 est une solution
Je pense que c'est la seule, mais je ne suis pas sûre.


La seule possibilité est 59. Or 2+3+7+59 = 71.
Cela reviendrait à utiliser 7 deux fois, donc pas de solution avec 2; 3; 7; 9;

Posté par Dardentor (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 31-10-04 à 22:03

2+5+7+89=103


Posté par pinotte (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 31-10-04 à 22:52

gagnéLes cinq nombres sont:

2 - 5 - 7 - 89 - 103

Posté par zonotope (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 00:07

gagnéVoici la séquence de nombres premiers : 2 5 7 89 103

Ma démarche :
On a à disposition ces chiffre : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Par définition, un nombre premier ne peut se terminer que par ces chiffres : 1 2 3 5 7 9
de plus, un nombre premier à 2 chiffres et plus ne peut se terminer que par 1 3 7 9

On choisit 5 chiffres parmi les 6 terminaux (1 2 3 5 7 9) et on teste le chiffre unité en les additionnant exemple : 2 + 3 + 5 + 7 = 17 (ne fonctionne pas, on à droit qu'a un seul 7)
        : 2 + 5 + 7 + 9 = 23 (ok, la solution de l'addition se terminera par 3)

On garde le 2 et le 5, il s'agit maintenant d'augmenter les chiffres 7 8 et 3 (en utilisant les chiffres qu'il nous reste : 0 1 4 6 8) de façon à satisfaire l'équation.
En utilisant une table de nombres premiers, on vérifie que 89 et 103 font l'affaire...

résultat : 2 + 5 + 7 + 89 = 103

Posté par
dad97 Correcteur
re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 01:47

gagné2+5+7+89=103

Posté par
theprogrammeur
re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 10:58

gagnéBonjours a tous !

Je vous propose ma réponse : 2+7+5+89=103

Voila ! Bonne continuation.

Posté par fab-olous (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 14:05

gagnésalu,
premierement,la somme de 4 entiers positifs impairs donne un nombre positif pair, donc non premier.
Or, un seul nombre pair est premier : 2

Mon resultat :

2+5+7+89 = 103

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 16:34

perduBonjour,
Si je me trompe pas je dirais
2 + 3 +5 +7 = 17 qui est un nombre premier...en espèrant que cela soit ca...

Posté par jugirlfriend (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 18:00

perdules quatres nombres premiers sont :
1 2 3 et 5

en effet 1+2+3+5=11 or 11 est aussi un nb premier

Posté par
Victor
re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 18:16

Bonsoir et bravo pour toutes les bonnes réponses.
La réponse est donc
2 + 5 + 7 + 89 = 103.

Je pense aussi, comme claireCW, que c'est la seule solution.
Bravo pour les justifications et les explications de vos démarches.

Attention :
2+3+5+7=17 ne pouvait pas convenir car on utilise deux fois le chiffre 7.
Et pour jugirlfriend, 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur positif qui est lui même.

Bonne soirée et à bientôt...

Posté par zonotope (invité)re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 18:38

gagnéBonjour,

Juste une question : quand on a pas de smiley, ni de poisson, c'est une erreur ou la réponse n'est que partiellement juste ?  

Posté par
franz
re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 21:20

Est-ce que ma réponse s'est perdue en route ?

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : Sommes de nombres premiers**** 01-11-04 à 21:29

zonotope > effectivement, tu n'as pas été noté.
Je laisse Victor le soin de corriger cela lors de sa prochaine visite

franz > heu... oui pas de trace de ta réponse, tu n'as pas du l'envoyer correctement

Posté par BlackSanka (invité)plusieurs solution à cette énigme 02-11-04 à 16:31

Moi ici je trouve pas pareil, je pense donce qu'il y a plusieurs solutions.

ma solution est : 2+3+7+19=31

Posté par
Victor
re : Sommes de nombres premiers**** 02-11-04 à 17:35

ça y est, c'est corrigé zonotope ! Tu as ton petit smiley Désolé pour ce retard...

Désolé pour franz, je n'ai pas croisé ta réponse sur le forum ...
Tu te rattraperas à la prochaine énigme...

Pour BlackSanka, dans ta réponse, tu utilises deux fois le chiffre 3 (dans 3 et dans 31) donc tu ne respectes pas la consigne.

@+

Posté par
Sylvieg
re : Sommes de nombres premiers 10-06-17 à 11:56

Bonjour,
Je remonte cette énigme que je trouve intéressante.
Je l'ai recopiée dans le forum détente pour que les réponses puissent être blankées :
Avec des nombres premiers aussi

Quid de l'unicité ?

Posté par
Marbulet
re : Sommes de nombres premiers 16-06-17 à 00:21

2 + 5 + 7 + 89 = 103

Posté par
Sylvieg
re : Sommes de nombres premiers 16-06-17 à 08:32

Bonjour Marbulet,
N'hésite pas à aller voir     Avec des nombres premiers aussi

Posté par
benmagnol
re : Sommes de nombres premiers 01-08-17 à 13:33

Bonjour
J'ai démontré avec Python et du raisonnement l'unicité de la solution citée ci dessus.
En effet j'ai pris tous les nombres premiers jusuq'à 3.000.000
J'ai donc balayé toutes les solutions de n uplets contenant 1, 2, 3, 4, 4 ou 6 chiffres.
Or un des nombres  de la solution ne peut pas contenir 7 chiffres sinon il n'en reste que trois pour écrire quatre nombres.
Donc la solution présentée est unique.

Voici le code :

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Jul 29 19:33:39 2017

@author: M33BECO
"""

#Quatre nombres premiers (positifs) ont pour somme un nombre premier.
#Tous les chiffres nécessaires à l'écriture de ces cinq nombres premiers sont différents.
#Quels sont ces cinq nombres ?



fichierobjet = open("d:nombrespremiers.txt", "r")
k=fichierobjet.readline()
fichierobjet.close()

lnp=eval(k)

print len(lnp)," nombres premiers charges"

purs=[]

for k in lnp:
    if len(set(str(k)))==len(str(k)):
        purs.append(k)

print len(purs) ,"sans repetitions internes"
#
#cpt=0
#
print set(str(purs[3])),
print set(str(purs[2374])),

print "intersection=",set(str(purs[3])).intersection(set(str(purs[2374])))
#
#print "le plus grand de mes purs etant",max(purs)
epure=[[],[],[],[],[],[],[],[],[]]


for i in purs:
    for k in range(0,9):
        if not(str(k) in set(str(i))):
            epure[k].append(i)


    
def intersect(a, b):
    return list(set(a) & set(b))

k= intersect(epure[6], epure[1])

def decomposenombre(i):
    # me retourne une liste de chiffres composant le nombre
    listedecomposee=list(str(i))
    for m in range(len(listedecomposee)):
        listedecomposee[m]=eval(listedecomposee[m])
    return listedecomposee

print decomposenombre(1234)

def reconstruitpurs(liste):
    repurs=[]
    for k in range(len(purs)):
        repurs.append(purs[k])
    return repurs

def supprimechiffredeliste(chiffre,liste):
    # cette fonction me supprime chiffre de ma liste    
    liste2=[]    
    for z in liste:
        if not(str(chiffre) in str(z)):
            liste2.append(z)
    return liste2

def supprimenombreliste(nombre,liste):
    listedechiffres=decomposenombre(nombre)
    for t in listedechiffres:
        liste=supprimechiffredeliste(t,liste)
    return liste

trouve=0
for a in purs:
    print a,
    ln1=supprimenombreliste(a,purs)
    for b in ln1:
        ln2=supprimenombreliste(b,ln1)
        for c in ln2:
            ln3=supprimenombreliste(c,ln2)
            for d in ln3:
                ln4=supprimenombreliste(d,ln3)
                for e in ln4:
                    if e==a+b+c+d:
                        print a,b,c,d,e
            

print "termine"  

Posté par
Sylvieg
re : Sommes de nombres premiers 01-08-17 à 14:21

Merci benmagnol  
J'ai signalé ta contribution dans Avec des nombres premiers aussi

Posté par
Synar
re : Sommes de nombres premiers 20-10-17 à 04:39

Je note qu'il suffisait informatiquement de balayer jusqu'à 9999, puisque si d>10000 dans a+b+c=d, on a nécessairement un des trois autres qui vaut >1000 et il ne reste plus qu'un chiffre pour écrire les 2 derniers.

Posté par
benalpha
re : Sommes de nombres premiers 05-12-17 à 17:26

2+7+11+23 = 43

Posté par
Sylvieg
re : Sommes de nombres premiers 05-12-17 à 19:12

Bonsoir benalpha,
Cette énigme a été lancée il y a quelques années puis relancée il y a six mois par mes soins :
Avec des nombres premiers aussi
Va plutôt voir la relance, car les réponses y sont blankées.

Ta réponse ne convient pas car les chiffres doivent être tous différents.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 24:28:02.
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