Bonjour Sylvieg,

Il y en a plein. Je compte 6490 couples de triplets avec une somme < 100.
Voici les 17 avec une somme <= 20:

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 9 = 1+4+4  = 2+2+5    33 = 1²+4²+4²  = 2²+2²+5²
12 = 2+5+5  = 3+3+6    54 = 2²+5²+5²  = 3²+3²+6²
12 = 1+5+6  = 2+3+7    62 = 1²+5²+6²  = 2²+3²+7²
15 = 3+6+6  = 4+4+7    81 = 3²+6²+6²  = 4²+4²+7²
15 = 2+6+7  = 3+4+8    89 = 2²+6²+7²  = 3²+4²+8²
15 = 1+7+7  = 3+3+9    99 = 1²+7²+7²  = 3²+3²+9²
15 = 1+6+8  = 2+4+9   101 = 1²+6²+8²  = 2²+4²+9²
16 = 1+6+9  = 3+3+10  118 = 1²+6²+9²  = 3²+3²+10²
17 = 1+8+8  = 2+5+10  129 = 1²+8²+8²  = 2²+5²+10²
18 = 4+7+7  = 5+5+8   114 = 4²+7²+7²  = 5²+5²+8²
18 = 3+7+8  = 4+5+9   122 = 3²+7²+8²  = 4²+5²+9²
18 = 2+7+9  = 3+5+10  134 = 2²+7²+9²  = 3²+5²+10²
18 = 1+8+9  = 3+4+11  146 = 1²+8²+9²  = 3²+4²+11²
18 = 1+7+10 = 2+5+11  150 = 1²+7²+10² = 2²+5²+11²
19 = 2+7+10 = 4+4+11  153 = 2²+7²+10² = 4²+4²+11²
20 = 2+9+9  = 3+6+11  166 = 2²+9²+9²  = 3²+6²+11²
20 = 1+7+12 = 3+4+13  194 = 1²+7²+12² = 3²+4²+13²

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from collections import defaultdict


def gcd(a,b):
    while a:
        a, b = b % a, a
    return b


def gcd_(*ns):
    g = ns[0]
    for n in ns[1:]:
        g = gcd(g, n)
    return g


def main():
    s = 0
    while s < 100:
        squares = defaultdict(list)
        for a in range(1, s-1):
            for b in range(a, (s-a)//2 + 1):
                c = s-a-b
                # print(a, b, c)
                squares[a*a+b*b+c*c].append((a, b, c))

        for sq in sorted(squares):
            l = squares[sq]
            for i, (a, b, c) in enumerate(l,1):
                for (d, e, f) in l[i:]:
                    if gcd_(a, b, c, d, e, f) == 1:
                        print(f"{s}={a}+{b}+{c}={d}+{e}+{f}, {sq}={a}²+{b}²+{c}²={d}²+{e}²+{f}²")
        s += 1


if __name__ == "__main__":
    main()

Joli
Il y a une formule qui permet d'en générer une infinité.
Mais sans doute pas tous.
Je vais regarder si tes 17 correspondent à cette formule ou pas.

Non, tu en as d'autres.
En particulier ceux avec une somme qui est un nombre premier.
Et je remarque que, dans ce cas, il n'y a qu'une solution.

C'est une coïncidence je pense, dès qu'on dépasse 20, toutes les sommes ont plusieurs solutions. Même les nombres premier:

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23 = 3+10+10 = 4+7+12   209 = 3²+10²+10² = 4²+7²+12²
23 = 2+8+13  = 4+5+14   237 = 2²+8²+13²  = 4²+5²+14²
                         
29 = 5+12+12 = 6+9+14   313 = 5²+12²+12² = 6²+9²+14²
29 = 4+10+15 = 6+7+16   341 = 4²+10²+15² = 6²+7²+16²
29 = 2+13+14 = 4+8+17   369 = 2²+13²+14² = 4²+8²+17²
29 = 1+14+14 = 2+10+17  393 = 1²+14²+14² = 2²+10²+17²
29 = 1+11+17 = 5+5+19   411 = 1²+11²+17² = 5²+5²+19²

J'espère trouver d'autres formules pour générer des solutions en utilisant tes listes.
Ce sera pour demain

Bonjour,
Voici quelques résultats.

Ce que j'avais trouvé avant de poster :

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(2x, x+y-1, 2y+1) et (2x-1, x+y+1, 2y)
avec x et y distincts et premiers entre eux, et x y+1.
Donne une infinité de solutions, mais pas toutes.

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La différence entre les 2 termes médians, est souvent 2, comme ci-dessus, un peu moins souvent 3 ; mais on trouve aussi 4, 5 et 6.

Les solutions avec = 3 :
(a, b, 2a-3b+7) et (a+2, b-3, 2a-3b+6)

Une autre forme des solutions avec = 2 :
(a, b, 2b-a-3) et (a+1, b-2, 2b-a-2)

Dès que > 3, il peut se décomposer de plusieurs manières en somme de deux entiers.
Avec = p+q, il faut chercher les triplets de la forme (a, b, c) et (a+q, b-(p+q), c+q).

Par ailleurs, peut être aussi grand que l'on veut.
Exemple avec = 2020 : (3, 2022, 1011) et (1013, 2, 2021)

@Sylvieg

Dans ta première expression la somme est 3(x+y) donc tu ne trouveras que des solutions pour les sommes multiples de 3 (et peut-être pas toutes).

Dans la dernière, il y a probablement une faute, ça devrait être a+p à la place de a+q pour avoir la même somme.
Par contre en posant l'égalité des somme de carrés, j'obtiens que p² + q² + (a-b)p + (c-b)q = 0. Donc les triplets de la dernière forme doive aussi répondre à cette contrainte. Qui ne m'a pas l'air évidente.

Merci LittleFox pour tes remarques.

Je pense qu'effectivement si = 2 alors la somme est un multiple de 3.
Je vais vérifier.

Oui, une coquille, c'est bien a+p à la place de a+q.

Je n'ai pas approfondi la non permutation, sauf dans ma 1ère expression.
Ni regardé si p ou q peuvent être négatifs.

Les solutions de la forme (a , b, c) , (a+1, b-2, c+1) vérifient a+b+c multiple de 3.

Après, il semble que les solutions (a, b, c) , (d, b-2, f), avec ni d ni f égal à a+1, ne conviennent pas.
(d, b-2, f) est alors une permutation de (a, b, c) ?
A approfondir.

A la main j'avais trouvé quelques cas....dont 84 72 63 et 83 74 62
J'ai été agréablement surpris par la première formule de Sylvieg

Bonjour,
Une propriété intéressante (et facile à démontrer !) :

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Si (a, b, c) et (d, e, f) est un couple solution alors (a+x, b+x, c+x) et (d+x, e+x, f+x) aussi.
Ce qui fait qu'on peut se contenter de chercher les couples (1, b, c) (d, e, f).

Bonjour,
Par contre, pour démontrer ceci, c'est franchement galère mais je pense y être arrivée :

Si (a, b, c) avec (d, b-2, f) forme un couple solution qui vérifie 1 a b c et 1 d b-2 f
alors la somme commune a+b+c est un multiple de 3.

Ce problème a l'air élégant, il faudrait que je me penche dessus.

Voici ce que j'ai trouvé pour l'instant :

Une propriété :
si a,b,c,   d,e,f est solution, alors on a aussi :
ab + ac +bc = de + df + ef

Joli le (p+n, p+q-n, p+2q) , (p, p+q+n, p+2q-n)

D'accord aussi pour descendre jusque 0, même si au départ je cherchais des solutions sans 0.

Perso, je cherche carrément dans les relatifs, c'est plus simple et il n'y a pas de raison particulière de l'interdire.

Généralisons,

Soit une progression du type :

(p, p+nq, p+(n+m)q)

p+nq-p = nq
p+(n+m)q - (p+nq) = mq

En ajoutant m fois la différence d'un côté et n fois de l'autre, on obtient les solutions :
(p + mr, p+nq - mr, p+(n+m)q)  (p, p+nq + nr, p+(n+m)q - nr)
Est ce que ça suffit pour obtenir toutes les solutions?

Faisons un peu le tri dans les propriétés trouvées :
(2x, x+y-1, 2y+1) et (2x-1, x+y+1, 2y)
Normalisons en soustrayant par 2x-1
(1, y-x, 2y-2x+2) et (0, y-x+2, 2y-2x+1)
posons a = y-x+1
(1, a-1, 2a-1) et (0, a+1, 2a)
Donc cas particulier de ma formule.

(a, b, 2b-a-3) et (a+1, b-2, 2b-a-2)
soustrayons par a :
(0,b-a, 2b-2a-3) et (1, b-a-2, 2b-2a-2)
posons a (nouveau) =b-a-1
On obtient exactement la même chose.

(a, b, 2a-3b+7) et (a+2, b-3, 2a-3b+6)
Ca m'a l'air faux (faire la somme) mais je suppose qu'en le rendant vrai, on tombe sous ma généralisation.

Ok, je me suis peut être un peu emballé pour ma généralisation, ça marche pas

Bon, je récidive avec une nouvelle généralisation (bonne cette fois ci)

Partons d'une configuration triviale (a,b,c) (a,b,c)
notons d1 = b-a, d2 = c-b.
On a a-c = - (d1+d2)

Ajoutons (e1, e2, e3) au premier vecteur (a,b,c), et la permutation (e3, e1, e2) à l'autre vecteur (a,b,c).
A quelle condition la configuration (a+e1, b+e2, c+e3) (a+e3, b+e1,c+e2) est elle solution?
Il faut uniquement vérifier que ae1 + be2 + ce3 = ae3 + be1 + ce2
En factorisant, on obtient e1(b-a) + e2(c-b) + e3(a-c) = e1d1 + e2d2 - e3(d1+d2) = d1(e1 - e3) + d2(e2-e3) = 0
On est sur une équation assez basique.
Soit d = pgcd(d1, d2)
Il existe donc n tel que e1 - e3 = nd2/d et e2 - e3 = -nd1/d
On peut donc fixer e3 puis prendre e1 = nd2/d + e3 et e2 = -nd1/d + e3

On obtient donc les solutions suivantes :
(a + nd2/d + e3, b - nd1/d + e3, c + e3) (a + e3, b + nd2/d + e3, c - nd1/d + e3)

Il est facile de voir que ça permet de générer toutes les solutions (cependant ça les génère toutes de nombreuses fois)

Une meilleure caractérisation serait, pour un couple (s1, s2), de trouver combien de solutions il existe à a + b + c = s1, a^2 + b^2 + c^2 = s2(et de le générer)

On peut remarquer que cette reformulation conduit à chercher les solutions entières de l'intersection d'un plan et d'une sphère...

J'ai vérifié, (a + nd2/d + e3, b - nd1/d + e3, c + e3) (a + e3, b + nd2/d + e3, c - nd1/d + e3) est bien solution si et seulement si (b-a)d2 = (c-b)d1.
C'est bien le cas avec d1 = b-a, d2 = c-b.
Pas le temps de regarder mieux pour le moment ; mais contente que tu n'aies pas laché le morceau

Bonjour,
Une remarque :
Pourquoi ne pas remplacer nd1/d par x et nd2/d par y ?
(a+y+z, b-x+z, c+z) et (a+z, b+y+z, c-x+z) avec (c-b)x = (b-a)y.

Je ne comprends pas...
( nd1/d, nd2/d) sont justement les solutions de l'équation (c-b)x = (b-a)y...
Ce qui permet d'écrire toutes les solutions en une paramétrisation. Ta version ne simplifie pas vraiment l'expression.  Après, on peut peut être se débarrasser du n et du d et montrer que l'on peut obtenir toutes les solutions de bases. (C'est à dire avec a+b+c =  et pgcd(b-a, c-b) = 1, à voir.

Bonsoir,
En fait, remplacer ou pas nd1/d par x et nd2/d par y n'est pas très important.
Pas très disponible ces jours ci ; mais je me replongerai dans cette histoire dès que possible.

Bonjour,
Je propose une autre forme de solution :
( t, t+xz+ny, t+(x+y)z-nx ) ( t+ny, t+xz-nx, t+(x+y)z ) avec x et y premiers entre eux.