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Sommes de trois entiers et de leurs carrés

Posté par
Sylvieg Moderateur
10-06-20 à 14:40

Bonjour,
Ma question est peut-être un classique.
Dans ce sujet Approfondissement : théorème de Rolle apparaissent 2 triplets d'entiers naturels (a, b, c) et (d, e, f) qui vérifient
a+b+c = d+e+f \; (1)
et
a2+b2+c2 = d2+e2+f2 \; (2)

Les deux triplets (9, 4, 2) , (8, 6, 1) vérifient donc (1) et (2).
(9k, 4k, 2k) , (8k, 6k, k) aussi avec k entier naturel.

(4,5,6) ,(6,5,4) aussi. Mais pas très intéressant.

Ma question :
Trouver d'autres couples de triplets (a, b, c) , (d, e, f) d'entiers naturels qui vérifient (1) et (2),
avec
pgcd(a, b, c, d, e, f) = 1
et
(d, e, f) qui n'est pas une permutation de (a, b, c).

Blanker vos réponses SVP.

Posté par
LittleFox
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 10-06-20 à 16:25


Bonjour Sylvieg,

Il y en a plein. Je compte 6490 couples de triplets avec une somme < 100.
Voici les 17 avec une somme <= 20:

 Cliquez pour afficher


Et voici le code python utilisé

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 10-06-20 à 16:35

Joli
Il y a une formule qui permet d'en générer une infinité.
Mais sans doute pas tous.
Je vais regarder si tes 17 correspondent à cette formule ou pas.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 10-06-20 à 16:45

Non, tu en as d'autres.
En particulier ceux avec une somme qui est un nombre premier.
Et je remarque que, dans ce cas, il n'y a qu'une solution.

Posté par
LittleFox
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 10-06-20 à 16:53


C'est une coïncidence je pense, dès qu'on dépasse 20, toutes les sommes ont plusieurs solutions. Même les nombres premier:

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 10-06-20 à 18:30

J'espère trouver d'autres formules pour générer des solutions en utilisant tes listes.
Ce sera pour demain

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 11-06-20 à 16:33

Bonjour,
Voici quelques résultats.

Ce que j'avais trouvé avant de poster :

 Cliquez pour afficher

Ce que j'ai trouvé en observant les listes de LittleFox :
 Cliquez pour afficher

Posté par
LittleFox
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 11-06-20 à 16:52

@Sylvieg

Dans ta première expression la somme est 3(x+y) donc tu ne trouveras que des solutions pour les sommes multiples de 3 (et peut-être pas toutes).

Dans la dernière, il y a probablement une faute, ça devrait être a+p à la place de a+q pour avoir la même somme.
Par contre en posant l'égalité des somme de carrés, j'obtiens que p² + q² + (a-b)p + (c-b)q = 0. Donc les triplets de la dernière forme doive aussi répondre à cette contrainte. Qui ne m'a pas l'air évidente.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 11-06-20 à 17:16

Merci LittleFox pour tes remarques.

Je pense qu'effectivement si = 2 alors la somme est un multiple de 3.
Je vais vérifier.

Oui, une coquille, c'est bien a+p à la place de a+q.

Je n'ai pas approfondi la non permutation, sauf dans ma 1ère expression.
Ni regardé si p ou q peuvent être négatifs.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 11-06-20 à 18:58

Les solutions de la forme (a , b, c) , (a+1, b-2, c+1) vérifient a+b+c multiple de 3.

Après, il semble que les solutions (a, b, c) , (d, b-2, f), avec ni d ni f égal à a+1, ne conviennent pas.
(d, b-2, f) est alors une permutation de (a, b, c) ?
A approfondir.

Posté par
dpi
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 12-06-20 à 07:40

A la main j'avais trouvé quelques cas....dont 84 72 63 et 83 74 62
J'ai été agréablement surpris par la première formule de Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 13-06-20 à 18:22

Bonjour,
Une propriété intéressante (et facile à démontrer !) :

 Cliquez pour afficher
Trouvée en tournant dans tous les sens la liste de LittleFox.
Encore merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 15-06-20 à 08:34

Bonjour,
Par contre, pour démontrer ceci, c'est franchement galère mais je pense y être arrivée :

Si (a, b, c) avec (d, b-2, f) forme un couple solution qui vérifie 1 a b c et 1 d b-2 f
alors la somme commune a+b+c est un multiple de 3.

Posté par
weierstrass
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 15-06-20 à 16:43

Ce problème a l'air élégant, il faudrait que je me penche dessus.

Voici ce que j'ai trouvé pour l'instant :

Une propriété :
si a,b,c,   d,e,f est solution, alors on a aussi :
ab + ac +bc = de + df + ef

Citation :
Si (a, b, c) et (d, e, f) est un couple solution alors (a+x, b+x, c+x) et (d+x, e+x, f+x) aussi.
Ce qui fait qu'on peut se contenter de chercher les couples (1, b, c) (d, e, f).

On peut généraliser en disant que les solutions sont stables par transformations affines. On peut donc considérer que les solutions de bases sont celles contenant un 0, et donc le pgcd des différences est 1.

Si on remplace a,b,c par a+1, b-1,c, alors on augmente la somme des carrés de 2(a-b).

On en déduit qu'à partir d'une progression arithmétique :
p,p+q,p+2q, on obtient les solutions :

p+n, p+q-n, p+2q  , p, p+q+n, p+2q-n

On peut aussi effectuer des transformations du style :
1,7,10,   2,5,11
à partir de 1,4,4,   2,2,5
on obtient :
2,7,10,   4,4,11
Mais ce n'est pas facile à caractériser de manière élégante..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 15-06-20 à 17:25

Joli le (p+n, p+q-n, p+2q) , (p, p+q+n, p+2q-n)

D'accord aussi pour descendre jusque 0, même si au départ je cherchais des solutions sans 0.

Posté par
weierstrass
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 15-06-20 à 18:29

Perso, je cherche carrément dans les relatifs, c'est plus simple et il n'y a pas de raison particulière de l'interdire.

Généralisons,

Soit une progression du type :

(p, p+nq, p+(n+m)q)

p+nq-p = nq
p+(n+m)q - (p+nq) = mq

En ajoutant m fois la différence d'un côté et n fois de l'autre, on obtient les solutions :
(p + mr, p+nq - mr, p+(n+m)q)  (p, p+nq + nr, p+(n+m)q - nr)
Est ce que ça suffit pour obtenir toutes les solutions?

Faisons un peu le tri dans les propriétés trouvées :
(2x, x+y-1, 2y+1) et (2x-1, x+y+1, 2y)
Normalisons en soustrayant par 2x-1
(1, y-x, 2y-2x+2) et (0, y-x+2, 2y-2x+1)
posons a = y-x+1
(1, a-1, 2a-1) et (0, a+1, 2a)
Donc cas particulier de ma formule.

(a, b, 2b-a-3) et (a+1, b-2, 2b-a-2)
soustrayons par a :
(0,b-a, 2b-2a-3) et (1, b-a-2, 2b-2a-2)
posons a (nouveau) =b-a-1
On obtient exactement la même chose.

(a, b, 2a-3b+7) et (a+2, b-3, 2a-3b+6)
Ca m'a l'air faux (faire la somme) mais je suppose qu'en le rendant vrai, on tombe sous ma généralisation.

Posté par
weierstrass
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 15-06-20 à 19:17

Ok, je me suis peut être un peu emballé pour ma généralisation, ça marche pas

Posté par
weierstrass
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 19-06-20 à 19:35

Bon, je récidive avec une nouvelle généralisation (bonne cette fois ci)

Partons d'une configuration triviale (a,b,c) (a,b,c)
notons d1 = b-a, d2 = c-b.
On a a-c = - (d1+d2)

Ajoutons (e1, e2, e3) au premier vecteur (a,b,c), et la permutation (e3, e1, e2) à l'autre vecteur (a,b,c).
A quelle condition la configuration (a+e1, b+e2, c+e3) (a+e3, b+e1,c+e2) est elle solution?
Il faut uniquement vérifier que ae1 + be2 + ce3 = ae3 + be1 + ce2
En factorisant, on obtient e1(b-a) + e2(c-b) + e3(a-c) = e1d1 + e2d2 - e3(d1+d2) = d1(e1 - e3) + d2(e2-e3) = 0
On est sur une équation assez basique.
Soit d = pgcd(d1, d2)
Il existe donc n tel que e1 - e3 = nd2/d et e2 - e3 = -nd1/d
On peut donc fixer e3 puis prendre e1 = nd2/d + e3 et e2 = -nd1/d + e3

On obtient donc les solutions suivantes :
(a + nd2/d + e3, b - nd1/d + e3, c + e3) (a + e3, b + nd2/d + e3, c - nd1/d + e3)

Il est facile de voir que ça permet de générer toutes les solutions (cependant ça les génère toutes de nombreuses fois)

Une meilleure caractérisation serait, pour un couple (s1, s2), de trouver combien de solutions il existe à a + b + c = s1, a^2 + b^2 + c^2 = s2(et de le générer)

Posté par
weierstrass
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 19-06-20 à 20:42

On peut remarquer que cette reformulation conduit à chercher les solutions entières de l'intersection d'un plan et d'une sphère...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 19-06-20 à 20:59

J'ai vérifié, (a + nd2/d + e3, b - nd1/d + e3, c + e3) (a + e3, b + nd2/d + e3, c - nd1/d + e3) est bien solution si et seulement si (b-a)d2 = (c-b)d1.
C'est bien le cas avec d1 = b-a, d2 = c-b.
Pas le temps de regarder mieux pour le moment ; mais contente que tu n'aies pas laché le morceau

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 20-06-20 à 07:57

Bonjour,
Une remarque :
Pourquoi ne pas remplacer nd1/d par x et nd2/d par y ?
(a+y+z, b-x+z, c+z) et (a+z, b+y+z, c-x+z) avec (c-b)x = (b-a)y.

Posté par
weierstrass
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 20-06-20 à 12:51

Je ne comprends pas...
( nd1/d, nd2/d) sont justement les solutions de l'équation (c-b)x = (b-a)y...
Ce qui permet d'écrire toutes les solutions en une paramétrisation. Ta version ne simplifie pas vraiment l'expression.  Après, on peut peut être se débarrasser du n et du d et montrer que l'on peut obtenir toutes les solutions de bases. (C'est à dire avec a+b+c =  et pgcd(b-a, c-b) = 1, à voir.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 20-06-20 à 21:53

Bonsoir,
En fait, remplacer ou pas nd1/d par x et nd2/d par y n'est pas très important.
Pas très disponible ces jours ci ; mais je me replongerai dans cette histoire dès que possible.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sommes de trois entiers et de leurs carrés 22-06-20 à 17:22

Bonjour,
Je propose une autre forme de solution :
( t, t+xz+ny, t+(x+y)z-nx ) ( t+ny, t+xz-nx, t+(x+y)z ) avec x et y premiers entre eux.

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