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Sommes des n premiers cubes

Posté par
Azer44170
24-09-18 à 20:16

Bonjour,

on me demande de conjecturer puis démontrer par récurrence la valeur de 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3.

Je sais que c'est le carré de la somme des n premiers carré car je l'ai vu sur Internet mais comme formuler la conjecture ? Après la démonstration par récurrence je n'aurai pas de problème je pense. Merci.

Posté par
PLSVU
re : Sommes des n premiers cubes 24-09-18 à 20:23

Bonsoir,
pour conjecturer  commence par calculer
1^3=.......
1^2+2^3=.......
1^2++2^3+3^3=......

1^2++2^3+3^3+......n^3=............

Posté par
Azer44170
re : Sommes des n premiers cubes 24-09-18 à 20:25

Je trouve : 1 ; 9 ; 36 ; 100. Mais je ne vois toujours pas comment trouver une formule pour la somme... ?

Posté par
flight
re : Sommes des n premiers cubes 24-09-18 à 20:26

salut

si tu peux trouver un polynome P de degré 3 tel que  
P(X+1)-P(X)=X3   tel que si on ecrit  que  

P(1)-P(0)=03  
P(2)-P(1)=13  
P(3)-P(2)=23
P(2)-P(1)=13
...jusqu'a
P(n+1)-P(n)=n3

et que si on somme membre à membre  pour obtenir

P(n+1)- P(0)=13 +23+33+....+n3

alors c'est gagné

Posté par
PLSVU
re : Sommes des n premiers cubes 24-09-18 à 20:29

S_1=1^3=1=1^2
 \\ S_2=1^2+2^3= 9=   .....
 \\ S_3=1^2++2^3+3^3=36=......
 \\
9 et 36 sont les carrés de ?

Posté par
Azer44170
re : Sommes des n premiers cubes 24-09-18 à 20:32

9 ; 36 et 100 sont les carrés de 3 ; 6 et 10. Je suis désolé mais je n'arrive pas à voir la suite sachant que je pensais tombé sur les carrés successifs (carré de 3 ; 4 ; 5 ; ...)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Sommes des n premiers cubes 24-09-18 à 20:43

Bonjour,

calculer aussi les
1+2+3+...n
car :

Citation :
Je sais que c'est le carré de la somme des n premiers carré
est faux
c'est le carré de la somme des n premiers nombres
et tu devrais voir d'où sortent tes 3, 6, 10 ...

Posté par
Azer44170
re : Sommes des n premiers cubes 24-09-18 à 21:11

C'est bon j'ai trouvé immédiatement merci !

Posté par
flight
re : Sommes des n premiers cubes 24-09-18 à 21:12

pour t'aider un peu plus

13 + 23 =(1+2)²
13 + 23+33 =(1+2+3)²
13 + 23+33+43 =(1+2+3+4)²
etc...



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