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Sommes des racines complexes

Posté par
Spacecadet 22-10-19 à 19:54

Bonjour, je bloque sur un exercice de TD ( ECS ), voilà mon problème : je dois calculer la somme des racines complexes d'un polynôme qui est le suivant

P_{n}=\sum_{k=0}^{n}{(-1)^k\begin{pmatrix} 2n+1\\ 2k+1 \end{pmatrix}(X-1)^{n-k}}

Je sais que deg(P_{n})=n et que le coefficient de son monôme de plus haut degré est 2n+1.

Partant de là, j'en déduis la factorisation suivante ( grâce à d'Alembert Gauss ), en notant z_{1},...,z_{n} les n racines complexes de P_{n} ( distinctes ou non ) :

P_{n}=(2n+1)\prod_{k=1}^{n}{(X-z_{k})}

Et c'est ici que je bloque, je ne vois pas comment isoler une expression de \sum_{k=1}^{n}{z_{k}}

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Seonre : Sommes des racines complexes 22-10-19 à 20:09

En notant Pn = \sum_{k=0}^{n}{a_k X^k}, les relations coefficients-racines te donnent : \sum_{k=1}^{n}{z_{k}} = -\frac{a_{n-1}}{a_n}

Posté par
larrechre : Sommes des racines complexes 22-10-19 à 20:10

Bonjour,

Commencer par chercher la somme des racines du polynôme en Z obtenu en posant Z=X-1.

Posté par
Spacecadetre : Sommes des racines complexes 22-10-19 à 23:41

Merci à vous deux. J'ai abouti à une réponse en développant le produit, je pense que c'est ce dont vous parliez Seon. Je trouve ainsi
\sum_{k=1}^{n}{z_{k}}= \frac{2n(n+1)}{3}
ce qui me semble être la bonne réponse. Merci encore !

Posté par
larrechre : Sommes des racines complexes 23-10-19 à 08:41

Oui, c'est la bonne réponse.


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