bonsoir
as-tu essayé d'écrire ce que vaut w* Sn?

salut

somme des termes d'une suite géométrique ...

Bonjour,
Juste une remarque :
Je pense qu'il manque quelque chose dans

Citation :
w : (2i)/n

2i/n

Oui Sylvieg, c'est bien w = e^2i/n , autant pour moi

Donc ici S_n=(1-q^n-1)/(1-q)

S_n=(1-(e^2i/n)^n-1)/(1-e^2i/n)

en fait on veut te faire démontrer cette formule :

Oui ça je l'ai compris,

Je ne sais juste pas comment le faire, je n'ai aucune idée qui me vient en tête, c'est la première fois qu'on fait ce genre d'exo et la j'avoue que je suis un peu perdu.
Merci quand même

retour au collège :        

Je viens d'avoir une idée mais je ne pense pas que c'est assez bien rédigé :

S_n*w = w(1+w¹+w²+w³+...+w^n-1)
S_n*w =w+ w²+w³+w⁴+...+wⁿ

S_n-S_n*w = (1+w¹+w²+w³+...+w^n-1) -(1+w+w²+w³+w⁴+wⁿ)

Et c'est l a que je suis confus car :
Sn-Sn*w =wⁿ ???

Petite correction :

S_n-S_n*w = (1+w¹+w²+w³+...+w^n-1) -(w¹+w²+w³+w⁴+wⁿ)

S_n-S_n*w =1+wⁿ

Donc pour n>=2 on a S_n-S_n*w = wⁿ

tu y es presque ... modulo une petite erreur de signe !!

pense à la formule de la somme des termes d'une suite géométrique ...

S_n-S_n*w = -wⁿ

Somme des termes d'une suite géométrique = premier terme* (1-q^{nombre de termes})/(1-q)

Donc ici : S_n = w (1-w^n-1)/(1-w)  (pour n>=2)

Donc :
S_n-S_n*w = w (1-w^n-1)/(1-w) * w (1-w^n-1)/(1-w)*w

Je ne vois pas où ça peut me mener.
J'ai juste envie de dire par intuition que si S_n-S_n*w = -wⁿ alors S_n=0

Tu ne vois pas où ça peut te mener ... mais l'énoncé de l'exercice te dit où ça doit te mener.

Au début, tu avais une somme et tu voulais prouver que cette somme était nulle.
Maintenant, tu as un produit, et l'énoncé de l'exercice te dit de prouver que ce produit est nul.
Pour prouver qu'un produit est nul, il y a des techniques bien connues.

Je ne vois pas à quel endroit l'énoncé me dit que le produit est nul.
Quant à S_n=0 c'est juste ce que j'ai pu voir a droite a gauche sur internet. Rien de très sérieux.

Je m'arrête à S_n-S_n*w = -w_n et je ne sais pas quoi faire ensuite

Oups, j'interviens dans une discussion en cours, et en plus je dis une bétise. Tout faux.

Reprenons.
Tu as : premier terme* (1-q^{nombre de termes})/(1-q)

Le nombre de termes vaut combien ? Tu dis qu'il y a n-1 termes, je ne suis pas d'accord avec ça.
Corrige ça.
Et ensuite, tu vas t'apercevoir que q^{nombre de termes}, c'est un nombre connu. Sa valeur est plus ou moins donnée dans l'énoncé de l'exercice.    
Et  ça y est, l'exercice est quasiment fini.

Si il n'y a pas n-1 termes je pense qu'il doit y en avoir n.

Donc S_n = 1*(1-(e^(2i)/n)ⁿ)/(1-e^(2i)/n)

Donc : Donc S_n = (1-e²ⁱ)/(1-e^(2i)/n)

Mais la c'est S_n pour n>=1 pas pour n>=2 ?? Et moi ce qui m'intéresse c'est pour n>=2 (donc la si c'est S_n pour n>=1 je retirerai 1 à l'expression de S_n)

Oui ça ça a déjà été dis. J'ai ensuite rectifié

je ne vois nulle part où tu as rectifié !!!

et je t'ai dit de penser à un résultat connu qui doit te permettre de te corriger (mais pas de l'utiliser !!!)

a= e ^2i  /n est une racine n ème de l'unité.

aⁿ vaut combien ?

Je ne sais pas ce qu'est une racine n-ième !
Je suis en terminale et cela fait que quelques mois que je parle de complexes seulement. En classe nous n'avons jamais parlé de racine n-ième.
D'après ce que j'ai pu voir sur internet c'est un nombre mis à une certaine puissance qui vaut 1.

Donc je dirai que ici n vaut 1 pour cette racine n-ième. Mais incapable de l'exploiter

Je pense avoir une idée mais la encore ça reste une intuition

pour n'importe quel n>=0  w=1 car w est une Racine n-ième

Donc s_n=(n-1)*1 ??

Le titre de l'exercice , c'est 'Somme des racine n-ièmes de l'unité'.
Et tu dis maintenant que tu ne sais pas ce que c'est une racine n-ième.

Il faut se poser les bonnes questions dans le bon ordre.
Quand tu recopies le titre de l'exercice, racine n-ième, si tu ne comprends pas ce que ça veut dire, alors, avant d'aller plus loin, il faut demander une explication de texte.

Racine carrée, ça te parle ?  
Racine cubique , ça te parle ?
Disons que racine carrée, c'est racine deuxième, racine cubique, c'est racine 3ème, et racine n-ième, c'est une généralisation de ce concept.

Sinon,   donne une bonne explication.

J'ai beau faire mes recherches cela reste flou pour moi.
Je viens justement sur ce forum pour comprendre ce que c'est une racine n-ième et comprendre cet exercice d'un nouveau type pour moi.
Si mes explications ne vous conviennent pas je suis désolé, lâchez cette conversation, quelqu'un avec plus de nerf se chargera de m'expliquer sans être condescendant. Et si personne ne le fait, j'essaierai de me débrouiller seul.

Bonsoir,

Je me permets d'intervenir vu que les esprits s'échauffent.

Je te donne quelques exemples:

Une racine quatrième de 16 est 2, car 2 puissance 4 = 16
Une racine cinquième de 32 est 2 , car 2 à la puissance 5 = 32

Une racine sixième de 729 est 3, car 3 à la puissance 6 = 729

J'ai été maladroit, à 2 reprises en intervenant sur un sujet que j'ai un peu trop survolé. C'est clair.
Et je m'en excuse.

Mais, je pense que le conseil reste valable.
On essaie de deviner quel déclic marchera le mieux pour t'orienter vers la solution du problème, en fonction des informations que l'on a.
Quand tu mets comme titre : racines n-ièmes de l'unité, et que tu ne demandes pas la définition de ce mot, on imagine que tu connais cette expression.
Ca ne coûte pas cher, dans ton premier message de dire que tu ne comprends pas le mot 'racine n-ième' ... tu aurais reçu directement les bonnes indications. Pour comprendre ce terme racine n-ième,  et aussi pour résoudre l'exercice.

Bonsoir, désolé pour ce retard mais j'ai d'autres devoirs qui s'accumulent

S_n-S_n*w = 1-wⁿ

Je conjecture que pour tout n>=0 wⁿ = 1

Je peux donc conjecturer que : Pour tout n>=0,

Donc :

S_n-S_n*w = 1-1

Alors

S_n-S_n*w =0

Or : si la différence des 2 est égale à 0 c'est que :

S_n= S_n*w

Bonjour,
Je n'ai pas vu écrit dans l'énoncé que w est une racine n-ième de l'unité.
J'ai fait rectifier la donnée de w.
w = e^2i/n
Cette donnée permet de calculer wⁿ.
Ce calcul de wⁿ n'a jamais été fait par Joshqt.

effectivement c'est une donnée implicite : ce résultat est immédiat par définition de w ...

et on veut voir le calcul le justifiant tu as raison ...

Démontrer que w est une racine n-ième de l'unité ça je sais le faire maintenant.

Donc w = 1

Et :
S_n-S_n*w revient à S_n(1-w)

Or w = 1

Donc :

S_n(1-1)=0

Mais je ne sais pas comment articuler ma conclusion quant à la valeur de S_n

Oui pardon wⁿ=1

car w = e^(2i)/n

Donc wⁿ=e²ⁱ

e²ⁱ = 1

S_n-S_n*w = 1-wⁿ

S_n(1-w) = 0

w est différent de 0.

Donc pour que ce produit soit nul il faut que S_n = 0

J'aime bien les démonstrations détaillées.
Comment passes-tu de w = e^(2i)/n à wⁿ=e²ⁱ ?

Plus bas, ce n'est pas "w est différent de 0", mais "w est différent de 1".
Et il faut le justifier.

L'amour pour le détail aie aie aie...

Je passe de e^(2i)/n à e²ⁱ car e(a)^b = e^a*b donc ensuite par simplification on peut retirer les n.

Et pour justifier que w est différent de 1 je vais l'écrire sous sa forme algébrique.