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Sommes et binôme de Newton

Posté par
Altai 23-09-21 à 08:19

Bonjour,

J'ai plusieurs exercices à faire sur le chapitre sommes et produits, mais je n'ai pas du tout compris comment procéder.
Tout d'abord, voici un exercice sur le binôme de Newton :

Démontrer les inégalités suivantes, pour tout n ∈ ℕ

1) \sum_{k = 0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}=0

2)\sum_{k = 0}^{n} \binom{2n}{2k} = 2^{2n-1}

3)\sum_{k = 0}^{n} 3^{2k-2} \binom{n}{k} = 10^n /9

4)\sum_{k = 0}^{n} 2^{3k} 3^{n-2k}\binom{n}{k} = (17/3)^n

Ce que j'ai fait :

1)  Avec la formule du binôme de Newton :
\sum_{k = 0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}=(-1)^k*1^{n-k}={(-1 + 1)}^n = {0}^n = 0

2) Je sais calculer \sum_{k = 0}^{n} \binom{2n}{k}=1^k*1^{n-k}=(1 + 1)^n = 2^n
mais pas avec \binom{2n}{2k}

3) \sum_{k = 0}^{n} 3^{2k-2} \binom{n}{k}=(3^2)^k*3^{-2}*1^{n-k}=(3^2 + 1)^n *3^{-2} = 10^n/9

4) On voudrait avoir ((2^3+3^{-2})*3^{-1})^n mais je n'arrive pas à l'obtenir avec la formule du binôme...

Il y a ensuite d'autres exercices, que je posterais une fois celui-là résolu. Je pense que si l'on m'explique la méthode, ou du moins l'idée de la résolution, j'y verrais un plus clair.
J'espère que quelqu'un saura m'expliquer, merci !

Posté par
carpediemre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 09:03

salut

PS : ce n'est pas des inégalités !!

dès la première égalité en 1/ et 2/ c'est faux !!!

\sum_0^n (-1)^k {n \choose k} = \sum_0^n {n \choose k} (-1)^k 1^{n - k} = [1 + (-1)]^n = 0

3/ cette somme s'écrit encore \sum_0^n {n\choose k} 9^{k -1}1^{n - k}  et je te propose de la multiplier par 9 ...

Posté par
Altaire : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 09:21

Pardon, ce sont des égalités

Mes réponses à la 1) et la 3) sont fausses ? Pourtant j'ai le même résultat que dans la correction...

Si l'on multiplie par 9 on obtient \sum_{k = 0}^{n} 9*9^{k-1}1^{n-k}\binom{n}{k} = \sum_{k = 0}^{n} 9^k1^{n-k}\binom{n}{k}  
mais il ne me semble pas que cette égalité soit égale à \sum_{k = 0}^{n} 3^{2k-2}\binom{n}{k}

Posté par
carpediemre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 09:32

obtenir une bonne réponse est une chose ...

l'obtenir avec une suite d'égalités exactes en est une autre !!!

on peut le faire comme tu l'as fait ... mais en respectant le point précédent !!

Altai @ 23-09-2021 à 09:21


Si l'on multiplie par 9 on obtient {\red 9S = }\sum_{k = 0}^{n} 9*9^{k-1}1^{n-k}\binom{n}{k} = \sum_{k = 0}^{n} 9^k1^{n-k}\binom{n}{k}  \red = ... ?   peut-être finir ce calcul ...
mais il ne me semble pas que cette égalité soit égale à \sum_{k = 0}^{n} 3^{2k-2}\binom{n}{k}   évidemment puisqu'on a multiplié par 9 ... donc que faudra-t-il faire à  la fin du calcul ?

Posté par
carpediemre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 09:39

2/ revenir à la définition/interprétation d'un nombre binomial pour donner immédiatement le résultat ...

Posté par
larrechre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 09:56

Bonjour,

Pour la 2/, tu pourrais utiliser la 1/ en changeant n en 2n.

Posté par
larrechre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 16:52

Pour la 4/, une façon de faire :

mettre 3^n en facteur puis "travailler" le reste (en férocité ?) pour faire apparaître des termes du type a^k 1^{n-k}\binom{n}{k}

Posté par
carpediemre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 17:44

plutôt multiplier simplement par 3^n ...

(même principe que pour le 3/)

Posté par
larrechre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 17:52

Cela doit revenir au même non ? Surtout si on ne connaît pas d'avance le résultat

Posté par
carpediemre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 18:53

ha tu préfères la férocité donc !!!

je préfère la simplicité !!

Posté par
carpediemre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 18:58

et même sans connaitre le résultat ...

et pendant que j'y suis pour le 2/ : \sum_0^n {2n \choose 2k} + \sum_0^{n - 1} {2n \choose 2k + 1} = \sum_0^{2n} {2n \choose k} = ...

Posté par
larrechre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 19:01


Pour la 2/ tu me coupes l'herbe sous les pieds. C'est toi qui fait dans la férocité!

Posté par
lafol Moderateurre : Sommes et binôme de Newton 23-09-21 à 21:51

Bonsoir
ce ne sont pas des inégalités, déjà signalés, et en plus ce ne sont pas des formules du binôme de Newton, mais juste des formules de développement du binôme ...


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