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"Sommes harmoniques" (suites)
bonjour!
pouvez m'aidez car je suis bloqué dans un exo:
on considère la suite (S) de terme général:
Sn=1+1/2+1/3+...+1/n ; n
1
1) Calculer les 4 1er termes de la suite
2)après avoir justifié que: 1/(n+p)1/(2n) pour tout entier p vérifiant 1
pn, démontrer que, pour n1, S2n1/2+Sn
3)Démontrer, par récurrence SUR K, que:
pour tout k1, il existe un entier naturel n[/sub]k tel que Sn[sub]kk
4)en déduire que la suite est divergente.
je bloque pour la fin de la 2ème question, pouvez m'aidez! merci d'avance!
S2n=1+1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)
Donc
S2n=(1+1/2+1/3+...+1/n)+(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n-1)+1/(n+n))
S2n=Sn+(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n-1)+1/(n+n))
Or 1/(n+p) 1/(2n)
donc chacun des n termes de la deuxième somme sont supérieur à 1/(2n)
S2n Sn+(1/(2n)+1/(2n)+...+1/(2n)+1/(2n))
S2n Sn+n*(1/(2n))
S2n Sn+1/2
@+
Merci de m'avoir aidé car je n'était pas du tout parti sur cette voie!
Une dernière question, comment résoudre la 3ème question! je l'ai réussi en utilisant une récurrence sur n mais je ne sait pas comment appliquer la récurrence sur k surtout qu'il est en indice! est ce une erreur de l'énoncé?
démontrer, par récurrence sur k, que pour tout k1,il existe un entier naturel[n][/k] tel que S[n][/k]k
je ne comprend pas comment on fait la récurrence sur un indice? merci de m'aidé!
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