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sommes, produits et factoriel

Posté par
tapanga 19-11-22 à 17:14

Bonjour
Je viens de commencer un nouveau chapitre sur les sommes et les produits et factoriel
Je suis largué avec mon 4ème exercice, voici l'énoncé :
1/Soit n un entier naturel non nul et a_1, a_2, ...a_n   n réels,
montrer que
a_1+a_2(1-a_1)+a_3(1-a_1)(1-a_2)+...+a_n {k=1}^n-1  (1-a_k)   +  {k=1}^n  (1-a_k)  =  1
2/ En déduire une expression simplifiée de:
S_n = {k=1}^n  kxn! /n^k *(n-k)!

Merci par avance de votre aide

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 17:39

salut

commence à le faire pour n = 4 ou 5 pour comprendre le principe ...

ensuite ça vient tout seul ...

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 18:57

D'accord merci

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 18:59

c'est bien pour la 1ère question que je remplace n par 4 ou 5 ?

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 19:19

ben oui !!

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 19:50

a_1+a_2(1-a_1)+a_3(1-a_1)(1-a_2)+a_4(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)+...a_n
prod{k=1}^n-1  (-n) + prod{k=1)^n (1-n)

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 20:07

je ne comprends pas ce que tu fais !!!

prends n = 5 et écris proprement avec tous les indices ce qu'il est demandé de prouver

et il serait bien de savoir écrire les indices sinon c'est illisible !!

pour cela tu as les icones X2 et X2 pour écrire indices et exposants ...

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 20:26

a5(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-a4) prod/{k=1} ^n-1  (1-a5) + prod{k=1}^n (1-a5) =1

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 20:39

non il en manque la moitié !!

on veut montrer que :

a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + a_4(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3) + a_5(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3)(1 - a_4) + \prod_1^5 (1 - a_k) = 1

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 20:54

je suis désolé je n'ai pas fait l'aperçu avant que mon ordi bugue
je peux vous demander pourquoi alors qu'il y avait deux produits, il en reste plus qu'un seul?

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 22:07

il y a exactement la formule de la question 1/ pour n = 5 !!

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 22:15

je débute dans les sommes et produits,  j'en ai jamais fait y compris en terminale où je n'ai qu'une ligne qui termine l'année. Désolé si je pose des questions qui seraient évidentes.

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 22:43

a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + a_4(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3) + a_5(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3)(1 - a_4) + \prod_1^5 (1 - a_k) = 1

s'écrit aussi \sum_{i = 1}^5 \left( a_i\prod_{k = 1}^{i - 1} (1 - a_k) \right) + \prod_1^5 (1 - a_k) = 1

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 23:02

d'accord, donc on peut mélanger sigma avec pi, je ne savais pas

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 19-11-22 à 23:57

5ai(1-ak)^n +5(1-ak)^5 =1

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 20-11-22 à 15:51

est-ce que c'est bon?

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 20-11-22 à 16:24

pour la question 2 : j'ai trouvé :  n ! / (n-1) !

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 20-11-22 à 16:56

tapanga @ 19-11-2022 à 23:57

5ai(1-ak)^n +5(1-ak)^5 =1
rien à voir avec la formule de l'énoncé ... et non prouvé et faux ...

il faut partir de
carpediem @ 19-11-2022 à 20:39

a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + a_4(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3) + a_5(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3)(1 - a_4) + \prod_1^5 (1 - a_k) = ...
et montrer que ça vaut 1

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 20-11-22 à 17:06

sum{i=1}^5(ai*prod{k=1}î^n=5  (1-ak) + prod{k=1}^n=5 (1-ak) = 1

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 20-11-22 à 18:16

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 20-11-22 à 18:43

je suis désolé je suis nouveau sur le forum et je ne maitrise pas encore la saisie
Concernant cet exercice et malgré vos indications, je ne vois pas ce qui me permettrait d'aller dans le sens de la démonstration.
Il va falloir que je prenne des cours en plus car le prof se contente de 3 lignes et donne des exercices que l'on ne peut pas maitrise si l'on n'a pas un minimum de cours et d'exemples.

Posté par
carpediemre : sommes, produits et factoriel 20-11-22 à 19:10

la démonstration de a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + a_4(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3) + a_5(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3)(1 - a_4) + \prod_1^5 (1 - a_k) = 1 est du niveau collège :

a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + a_4(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3) + a_5(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3)(1 - a_4) + \prod_1^5 (1 - a_k) = \\ \\ a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + a_4(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3) + (1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3)(1 - a_4)[a_5 + 1 - a_5] = \\ \\ a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + a_4(1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3) + (1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3)(1 - a_4) = \\ \\ a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + (1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3)[a_4 + 1 - a_4] = a_1 + a_2(1 - a_1) + a_3(1 - a_1)(1 - a_2) + (1 - a_1)(1 - a_2)(1 - a_3) = \\ \\ a_1 + a_2(1 - a_1) + (1 - a_1)(1 - a_2)[a_3 + 1 - a_3] = a_1 + a_2(1 - a_1) + (1 - a_1)(1 - a_2) = a_1 + (1 - a_1)[a_2 + 1 - a_2] = a_1 + 1 - a_1 = 1

à généraliser avec n à la place de 5 ...

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 21-11-22 à 08:34

en fait ce qui me gêne, c'est le signe produit (pas vu au collège!) .
Merci pour votre aide , on va corriger normalement aujourd'hui.
Merci pour votre temps

Posté par
Razesre : sommes, produits et factoriel 21-11-22 à 16:08

Bonjour,

Si tu remplaçais   a_i   par   1 -(1-a_i); tu obtiendras:

\sum_{i = 1}^5 \left( a_i\prod_{k = 1}^{i - 1} (1 - a_k) \right)=\sum_{i = 1}^5 \left(\prod_{k = 1}^{i - 1} (1 - a_k)- \prod_{k = 1}^{i} (1 - a_k) \right);

Puis tu développes, ...

Posté par
Razesre : sommes, produits et factoriel 21-11-22 à 16:34

Tu développes la somme mais pas les produits.

Posté par
tapangare : sommes, produits et factoriel 21-11-22 à 17:43

Merci beaucoup pour le coup de pouce, je vais continuer...
Merci à Carpediem pour sa précieuse aide... et sa patience!


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