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Niveau Maths sup
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Sommes trigo

Posté par
Ryanprepa
29-09-19 à 11:50

Bonjour a tous

En espérant que tout le monde va bien .

Je prend un peu d'avance sur mon td de math mais ..
Je bloque assez durement sur une somme et je ne vois PAS du tout comment attaquer.Un peu d'aide svp ? Surtout que je ne peut utiliser ni les formules d'euler Ni des choses qu'on voit plus tard dans l'annee

Voilà la somme
\sum_{k=0}^{n}{Cos(\frac{k\pi }{n})}
Avec n


Je voudrais qu'on m'explique le raisonnement svp pas juste la réponse le but étant de le refaire

Posté par
sanantonio312
re : Sommes trigo 29-09-19 à 11:52

Bonjour,
Selon la parité de n, il y a des symétries à explorer autour du cercle trigo. Non?

Posté par
malou Webmaster
re : Sommes trigo 29-09-19 à 11:53

bonjour

faire intervenir {cos(\frac{k\pi }{n})+i{ sin(\frac{k\pi }{n}) peut-être....

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 11:56

Bonjour sanantonio

J'y ai pensé mais je suis assez peu doué quand il faut faire intervenir les parités dans les sommes Ducoup je préfère me ramener au calcul..

Mais malou c'est la forme trigo d'un nombre complexe non ?

Posté par
malou Webmaster
re : Sommes trigo 29-09-19 à 11:57

oui.....cogite !

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 11:58

Ah la prof m'a confirmé que je pouvais utiliser les formules d'euler si j'essaye de les comprendre avant ..

Ducoup je dois transformer la somme avec la formule des exponentielles
Puis je la scinde en 2?

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 11:59

Et si la somme était celle d'un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle ?

Posté par
malou Webmaster
re : Sommes trigo 29-09-19 à 12:04

Ryanprepa @ 29-09-2019 à 11:58

Ah la prof m'a confirmé que je pouvais utiliser les formules d'euler si j'essaye de les comprendre avant ..

Ducoup je dois transformer la somme avec la formule des exponentielles
Puis je la scinde en 2?


tout à fait...ce que tu cherches en sera la partie réelle

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 12:10

J'ai juste tenté une bonne méthode je pense que c'est faux mais j'aimerais Que vous me disiez pourquoi c'est faux

Donc puisque la partie imaginaire est nulle on peut écrire la somme comme :

\sum_{k=0}^{n}{Cos(\frac{k\pi }{n})+sin(\frac{k\pi }{n})}

Et on resout donc
Le sinus = 0 et on trouve

Nécessairement k=0

Ducoup dans la somme on aurait Cos (0) mais ce n' est pas nul..

Je sais que c'est faux mais j'aimerais savoir pourquoi ?

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 12:19

Et aussi une question dans la formule d'euler je ne vois pas trop où se situe la partie imaginaire

Posté par Profil Ramanujanre : Sommes trigo 29-09-19 à 12:36

\cos \dfrac{k \pi}{n} = Re (e^{\frac{k i \pi}{n} })

Et : Re(\sum_k z_k)=\sum_k Re(z_k)

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 12:42

Voila je suis partit de ce raisonnement mais la j'ai Un gros calcul divisé par 1-cos(pi/n)-isin(pi/n)

Je vois pas trop comment simplifier ca

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 12:43

J'ai aussi développé avec la suite géométrique

Posté par Profil Ramanujanre : Sommes trigo 29-09-19 à 13:00

Posons a= \dfrac{\pi}{n}

\sum_{k=0}^n e^{ika}=\dfrac{1-e^{ i(n+1)a}}{1-e^{ia}}

Or : \dfrac{1-e^{ i(n+1)a}}{1-e^{ia}}=e^{i n \frac{a}{2}} \dfrac{ \sin (n+1)\frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}}

J'ai juste utilisé la factorisation par l'arc moitié.

Il suffit de calculer la partie réelle de cette expression.

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 13:05

J'en ne connais pas cette factorisation pourriez-vous expliciter svp ??

Posté par Profil Ramanujanre : Sommes trigo 29-09-19 à 13:16

Factorise au numérateur par \exp \dfrac{(n+1)ia}{2} et au dénominateur par \exp \dfrac{ia}{2}

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 13:20

Aaaah j'ai compris merci beaucoup je vais me pencher sur cet exo

Posté par
sanantonio312
re : Sommes trigo 29-09-19 à 15:53

Pour revenir aux symétries, tu devrais quand même faire le dessin avec n=5 et n=6 (par exemple) pour bien voir où ça te mène...
Les simplifications sont vites vues... Et le résultat immédiat

Posté par
carpediem
re : Sommes trigo 29-09-19 à 16:04

salut

sanantonio312 @ 29-09-2019 à 15:53

Pour revenir aux symétries, tu devrais quand même faire le dessin avec n=5 et n=6 (par exemple) pour bien voir où ça te mène...
Les simplifications sont vites vues... Et le résultat immédiat

ou encore :

s = \sum_0^n \cos \dfrac {k\pi} n
 \\ s = \sum_n^0 \cos \dfrac {k\pi} n = \sum_0^n \cos \dfrac {(n - k)\pi} n = \sum_0^n - \cos \dfrac {k\pi}n

donc 2s = 0

Posté par
sanantonio312
re : Sommes trigo 29-09-19 à 16:08

Aussi.
C'est la traduction formelle du "dessin"

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 16:22

J'ai réussis merci c'etait Vraiment simple avec la technique de carpediem

Juste pour la technique avec les  formules de Euler quelqu' Pourrait me rédiger svp ? C'est nouveau ca nouveau ca Je ne l'ai même pas vu en cours et j'aimerais bien voir comment ca marche merci

Posté par
carpediem
re : Sommes trigo 29-09-19 à 16:33

trop compliqué ... mais un bon exercice pour ...

enfin ça se fait quasiment en une ligne d'égalité ... mais chiant à écrire sur ordi avec des fractions ...

Posté par
carpediem
re : Sommes trigo 29-09-19 à 16:33

pour toi !!!

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 16:54

Ah d'accord bon bah je vais essayer de le faire sur feuille merci le Seul truc qui me pose un peu probleme c'est la factorisation par demi arc

Posté par
malou Webmaster
re : Sommes trigo 29-09-19 à 16:59

e^{ia}=e^{\frac {ia}{2}+\frac{ia}{2}}=e^{\frac {ia}{2}}\times e^{\frac {ia}{2}}

et

e^{\frac {ia}{2}}\times e^{\frac {-ia}{2}}=\dots

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 17:01

Parfait j'ai compris merci !
C'est égal à e^0 donc 1

Posté par
malou Webmaster
re : Sommes trigo 29-09-19 à 17:02

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 29-09-19 à 22:27

Ducoup j'ai réussis a faire tout le raisonnement jusqu'a l'an 2eme ligne du message de rama Juan a 13h00 mais j'arrive pas a utiliser le demi arc..ni a simplifier

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 30-09-19 à 13:18

Un coup de main ?

Posté par
lake
re : Sommes trigo 30-09-19 à 13:54

Bonjour,

C'est un peu pénible à écrire en \LaTeX; c'est probablement la raison pour laquelle beaucoup hésitent.

  Au reste, la "bonne" méthode, c'est l'autre: les symétries de santantonio312 ou son écriture formelle avec carpediem.

  S_n= \sum_{k=0}^n\cos\,\dfrac{k\pi}{n}=\Re\left(\sum_{k=0}^ne^{i\frac{k\pi}{n}}\right)=\Re\left(\dfrac{e^{\frac{i(n+1)\pi}{n}}-1}{e^{\frac{i\pi}{n}}-1}\right)

  S_n=\Re\left(\dfrac{e^{\frac{i(n+1)\pi}{2n}}(e^{\frac{i(n+1)\pi}{2n}}-e^{-\frac{i(n+1)\pi}{2n}})}{e^{\frac{i\pi}{2n}}(e^{\frac{i\pi}{2n}}-e^{-\frac{i\pi}{2n}})}\right)=\Re\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\,\dfrac{\sin\frac{(n+1)\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}\right)

  S_n=\Re\left(i\,\dfrac{\sin\frac{(n+1)\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}\right)=0

Posté par
carpediem
re : Sommes trigo 30-09-19 à 15:41

surtout en te traînant un Re() partout ...

sachant que la somme des parties réelles est la partie réelle d'une somme ...

je calculerai simplement la somme complexe ...

puis je conclurai ...

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 30-09-19 à 18:02

En tout cas merci beaucoup a vous j'ai bien compris

Oui en effet je pense utiliser l'autre méthode surtout que l'objectif est d'être Plus rapide

Merci encore

Posté par
carpediem
re : Sommes trigo 30-09-19 à 18:09

l'important n'est pas d'utiliser telle ou telle méthode !!

l'important est de se constituer un savoir solide et tout autant une expérience !!

c'est mes connaissances (propriétés de la fonction cos) et mes pratiques associées à une idée (écrire la somme à l'envers) qui m'ont conduit à produire un résultat en deux lignes ...

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 30-09-19 à 18:37

C'est vrais il faut que j'acquiert des automatismes

Juste une chose quand vous avez factorisé par le Demi-arc ou est partit le -1 du numérateur et du dénominateur svp ?

Posté par
malou Webmaster
re : Sommes trigo 30-09-19 à 18:40

malou @ 29-09-2019 à 16:59

....

et

e^{\frac {ia}{2}}\times e^{\frac {-ia}{2}}=e^{i0}=1

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 30-09-19 à 20:08

D'accord Ducoup parfait ça c'est bon merci et une derniere chose comment sortons le e^ipi/2 et pourquoi on passe à sin ? Je pensais que pour les formules d'euler Il fallait un /2

Posté par
malou Webmaster
re : Sommes trigo 30-09-19 à 20:20

le e^ipi/2 c'est la simplification de e^{\frac{i(n+1)\pi}{2n}} avec e^{\frac{i\pi}{2n}}

e^{ix}=cos(x)+i sin(x)

e^{-ix}=cos(x)-i sin(x)

en soustrayant membre à membre

e^{ix}-e^{-ix}=2i sin(x)

Posté par
lake
re : Sommes trigo 30-09-19 à 20:25

Il y a aussi un i:

  \sin\,a=\dfrac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}

Mais \dfrac{e^{ia}-e^{-ia}}{e^{ib}-e^{-ib }}=\dfrac{2i\,\sin\,a}{2i\,\sin\,b}=\dfrac{\sin\,a}{\sin\,b}

Posté par
lake
re : Sommes trigo 30-09-19 à 20:26

Ah! Bonsoir malou

Posté par
malou Webmaster
re : Sommes trigo 30-09-19 à 20:28

bonsoir lake
merci d'avoir pris le temps de tout lui écrire...je n'avais pas le temps !

Posté par
Ryanprepa
re : Sommes trigo 30-09-19 à 20:34

Merci merci désolé du dérangement l'an j'ai tout compris reste plus qu'a Le refaire tout seul et sur d'autres exemples

Bonne soirée à tous

Posté par
lake
re : Sommes trigo 30-09-19 à 20:36

Bonne soirée à toi!



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