Niveau Maths sup

Sommes trigonométriques

Posté par
pfff 28-10-20 à 22:28

Bonsoir j'aimerais de l'aide pour cet exercice merci

ÉNONCÉ
Soit (x_k) et (a_k) deux suites de nombres réels telles que pour tout entier naturel k , on a : $x_k = a_k_+_1 - a_k$

A l'aide d'un changement d'indice; montrez que pour tout entier naturel n , on a : $\sum_{k=0}^{n}{x_k} = a_n_+_1 - a_0$

2. Exprimez, lorsque cela a un sens tan(p)-tan(q) à l'aide de sin(p-q), cos(p) et cos(q)
Déduisez-en une expression réduite de la somme $\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{cos(kx)cos((k+1)x)}}$

3. a. Vérifiez que $sin(x) = 3sin(\frac{x}{3}) - 4sin^3(\frac{x}{3})$

b. Calculez la somme $\sum_{k=1}^{n}{3^k^-^1sin^3(\frac{x}{3^k})}$

Posté par re : Sommes trigonométriques 28-10-20 à 22:29

au niveau de la 1ere question sans le décalage d'indice je trouve bien sur en appliquant le télescopage donc je sais pas si c'est une erreur ou je ne sais pas comment faire

Posté par re : Sommes trigonométriques 28-10-20 à 22:50

Pour démontrer que le télescopage fonctionne, on peut utiliser un changement d'indice, donc les deux méthodes sont équivalentes.
Pour la question, le changement d'indice s'écrit :
$\\ \sum\limits_{k = 0}^n x_k = \sum\limits_{k=0}^n (a_{k+1} - a_k) = \sum\limits_{k=0}^n a_{k+1} - \sum\limits_{k=0}^n a_k = \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k - \sum\limits_{k=0}^n a_k = a_{n+1} + \sum\limits_{k=1}^n a_k - \sum\limits_{k=1}^n a_k - a_0 = a_{n+1} - a_0 \\$

Pour la 2., tu as sûrement une formule dans ton cours pour $(sin p)(cos q) - (sin q)(cos p)$

Pour la 3. a., essaye d'écrire $sin^3$ en fonction de $sin^1$

Pour la 3. b., utilise la 3.a avec un $x$ adapté.

Posté par re : Sommes trigonométriques 28-10-20 à 23:21

merci infiniment

Posté par re : Sommes trigonométriques 28-10-20 à 23:28

pour la question du 2 comment je fais pour en déduire ?

Posté par re : Sommes trigonométriques 28-10-20 à 23:36

Normalement, tu obtiens

$tan(p) - tan(q) = \frac{sin(p-q)}{cos(p)cos(q)}$

Donc tu vois un produit de deux cosinus dans un dénominateur, et on te demande un truc similaire.
Si tu essayes la solution bourrin, c'est-à-dire $p = (k+1)x$ et $q = kx$ tu peux utiliser la question 1 et normalement tout se passe bien