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Niveau Maths sup
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sonne complexe !! trigo

Posté par sazebailly (invité) 02-10-05 à 21:54

voilà j'ai une somme à calculer et je suis pas sure d'avoir le bon resultat, cela dépasse la ti89 !
x[sup][/sup]^k* cos(a+bk), (de k=0, à n-1)

j'utilise cos(a+kb)= cos(a)*cos(kb)-sin(a)*sin(kb)
puis linéarité de la somme mais je suis coissé avec les facteur constants cos(a) et sin(a) devant chaque somme

pouvez vous m'aider ?

Posté par
stokastik
re : sonne complexe !! trigo 02-10-05 à 22:50


\cos(a+kb)=\Re(e^{i(a+kb)}) (\Re désigne la partie réelle)

x^k \in \mathbb{R} donc x^k\Re(e^{i(a+kb)})= \Re(x^k[e^{i(a+kb)}

e^{a+kb}=e^{ia}(e^{ib})^k

on obtient x^k\cos(a+kb)=\Re\big(e^{ia}(xe^{ib})^k\big)

\sum_{k=0}^{n-1}\Re\big(e^{ia}(xe^{ib})^k\big) = \Re\left(e^{ia}\sum_{k=0}^{n-1}(xe^{ib})^k\right)

Maintenant tu calcules \sum_{k=0}^{n-1}(xe^{ib})^k, c'est une somme géométrique

Posté par
dad97 Correcteur
re : sonne complexe !! trigo 02-10-05 à 22:58

Bonsoir,

je suppose x réel

1er cas : b\in\pi\mathbb{Z}
cos(a+bk)cos(a+p\pi k) avec p un entier relatif
3$\rm cos(a+bk)=\{cos(a) si b\in 2\pi\mathbb{Z}\\-cos(a) si b\in \pi\mathbb{Z}-2\pi\mathbb{Z}


et donc 4$\rm\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}x^kcos(a+bk)=\{cos(a)\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}x^k si b\in 2\pi\mathbb{Z}\\-cos(a)\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}x^k si b\in \pi\mathbb{Z}-2\pi\mathbb{Z}

1er sous-cas : x=1
alors 4$\rm\blue\fbox{ si b\in\pi\mathbb{Z} et x=1 \Bigsum_{k=0}^{k=n-1}x^kcos(a+bk)=\{ncos(a) si b\in 2\pi\mathbb{Z}\\-ncos(a) si b\in \pi\mathbb{Z}-2\pi\mathbb{Z}

2ème sous-cas : x\neq 1
alors 4$\rm\blue\fbox{ si b\in\pi\mathbb{Z} et x\neq 1 \Bigsum_{k=0}^{k=n-1}x^kcos(a+bk)=\{cos(a)\frac{x^n-1}{x-1} si b\in 2\pi\mathbb{Z}\\-cos(a)\frac{x^n-1}{x-1} si b\in \pi\mathbb{Z}-2\pi\mathbb{Z}


2ème cas : b\notin\pi\mathbb{Z}

4$\rm\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}x^kcos(a+bk)=\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}x^kRe(e^{i(a+bk)})

4$\rm =Re(e^{ia}\Bigsum_{k=0}^{k=n-1}(xe^{ib})^k)

4$\rm =Re(e^{ia}\frac{1-(xe^{ib})^n}{1-xe^{ib}})

4$\rm =Re(e^{ia}\frac{(1-(xe^{ib})^n)(1-xe^{-ib})}{(1-xe^{-ib})(1-xe^{ib})})

d'où :

4$\rm\blue\fbox{ si b\notin\pi\mathbb{Z} , \Bigsum_{k=0}^{k=n-1}x^kcos(a+bk)=\frac{cos(a)-xcos(b-a)-x^ncos(a+nb)-x^{n+1}cos(a+b(n+1))}{x^2-2xcos(b)+1}}

Sans relecture

Salut

Posté par
dad97 Correcteur
re : sonne complexe !! trigo 02-10-05 à 22:59

Bouh, j'arrive après la guerre

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : sonne complexe !! trigo 02-10-05 à 23:01

Mais la réponse est très jolie

j'espère que sazebailly l'appréciera (en complément/confirmation de celle de stokastik).



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