Bonjour à tous !

J'ai un exercice qui porte sur la Sorcière d'Agnesi, et je bloque sur certaine questions...

Dans le repère orthonormal d'axes (x'x) et (y'y) ,le point fixe P a pour coordonnées (0;2).
Soit C le cercle de diamètre [OP].
La droite d est une droite variable qui pivote autour de P.
Cette droite coupe C en K et (x'x) en H. Soit x l'abcsisse de H et y l'ordonnée de K. M est le point de coordonnées (x;y).
La courbe décrite par le point M lorsque d pivote autour du point P a été étudié par Maria Gaetana Agnesi.

1) Intuitivement,en imaginant le mouvement de la droite d et des points variables, que se passe t-il pour y lorsque x tend vers +oo? Puis vers -oo?
Que se passe t-il pour x lorsque y tend vers 2 par valeurs inférieures? y peut-il tendre vers 2 par valeurs supérieures?
Montrer que cette courbe est symétrique par rapport à l'axe (y'y) et qu'elle passe par l'origine.

- Lorsque x tend vers +oo ou -oo, y tend vers 2, oui ?
- Quand y tend vers 2, x tend vers oo. y ne peut pas tendre vers 2 pas valeurs supérieurs car y est l'ordonnée de K et K appartient au cercle
- Aucune idée du tout, je ne comprend pas comment faire...

2) Soit m la pente variable de la droite d.
Montrer qu'une équation de cette droite est y=mx+2.
Montrer qu'une équation du cercle C est x²+(y-1)²=1.

- Je sais répondre à cette question. (équation de droite et de cercle)

3) En déduire les coordonnées des points H et K en fonction de m.

- On sait que H est sur (x'x), donc son ordonnée est nulle. Soit H (x , 0)
Pour son abscisse, il faut utiliser l'équation de la droite car H appartient à la droite.

y = mx + 2 = 0
mx + 2 = 0
x = -2/m

Soit H (-2/m ; 0)

- On sait que K appartient au cercle (C) et qu'il est également sur (d). Soit K (x ; y)

y = mx + 2
x² + (y-1)²= 1

Donc:

x²+(mx +2-1)²=1
x²+(mx+1)²=1
x²+(mx)²+2mx+1=1
x²+(mx)²+2mx=0
x²+m²x²+2mx=0
x²(1+m²) + 2mx = 0
x [x(1+m²) + 2m] = 0

Si x = 0

y = mx + 2 = 2 d'où K (0;2) = P. Ce n'est pas le point que l'on cherche, mais l'autre.

Si x(1+m²) + 2m = 0

x = -2m/(1+m²)

y = mx + 2 = m [-2m/(1+m²)] + 2 = [-2m²/(1+m²)] + 2 = (-2m² + 2 + 2m²)/(1+m²) = 2/(1+m²)

Soit K ( -2m/(1+m²) ; 2/(1+m²) )

Pas d'erreur ?

4) Montrer que les coordonnées x et y du point M sont liées par la relation y=(2x²)/(x²+4).

- Aucune idée =/

5) Retrouver les limites étudiées de manière intuitive à la question 1/

- Je pense pouvoir réussir, il suffit juste de trouver les limites en +00 et -00 c'est sa ?

6) Etudier la fonction f définie sur R par f(x)=(2x²)/(x²+4). Tracer la courbe représentative de f(courbe décrite par M). C'est cette courbe que l'on nomme "sorcière d'Agnesi".

- Etudier la fonction c'est à dire limites / asymptotes / derivation / variation ?

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Voila, merci d'avance !

Si joint, le schéma donné avec l'exercice.