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 Sous ensemble et divisibilité 
Posté par 
simon92  28-02-08 à 12:05
Bonjour a tous 



Je poste  un petit défi, plus facile que le précédant mais bon, quand même pas évident ^^



Citation :
On se donne  entiers , , ,..., . Prouvez qu'il existe au moins un sous-ensemble de {,,,...,} dont la somme des éléments est divisible par .


Voila c'est tout! 


Comme d'habitude, n'hésitez pas a demender des indices ou d'autres petits défis dans ce style là 
Réponses blankés! 

Bonne chance
 Posté par dellys (invité)re :  Sous ensemble et divisibilité   28-02-08 à 12:25
Salut, 



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je réfléchis plus tard 


w@lid.
 Posté par 
simon92re :  Sous ensemble et divisibilité   28-02-08 à 12:26
Re!

Walid>> 
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 sage initiative
 Posté par dellys (invité)re :  Sous ensemble et divisibilité   28-02-08 à 12:28
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ben oui  mais après que je mange 


w@lid.
 Posté par 
simon92re :  Sous ensemble et divisibilité   28-02-08 à 17:37
quelqu'un? 
 Posté par 
blangre :  Sous ensemble et divisibilité   28-02-08 à 19:30
Bonjour Simon92,



Je m'y colle 



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Considérons la suite -x1, x2 , x2+x3 , x2+x3+x4 , ... , (x2+...+xn)

- Soit tous les éléments précédents ont des restes modulo n distincts et un d'entre eux est divisible par n.

- Soit il y a deux des éléments précédents qui ont le même reste modulo n, le traduire répond à la question.

 Posté par 
plumemeteorere :  Sous ensemble et divisibilité   28-02-08 à 21:20
bonsoir Simon et Dellys

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la solution est très simple

prenons les ensembles constitués respectivement par le premier entier, les deux premiers, les trois premiers, ... , les n premiers

si les sommes de ces ensembles ont des modulos n tous différents, l'un de ces modulos est zéro

sinon, il y a deux modulos égaux, par exemple pour les sommes de e(i) et de e(j), avec i < j

alors l'ensemble des entiers appartenant à e(j) et non à e(i) a pour somme un nombre divisible par n

 Posté par 
blangre :  Sous ensemble et divisibilité   28-02-08 à 21:37
@plumemeteore

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Ah ben ouais tiens, pourquoi je me suis embêté en partant avec -x1 ?

P.S. Bonsoir quand même 

 Posté par 
simon92re :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 09:33
Salut, merci d'avoir participé, 

blang>> 
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pourquoi partir avec -x_1? sachant que ces des entiers postifs, et qu'on ne les soustrait pas , mais sinon, c'est ca, bravo 

Plumemeteore>>  Cliquez pour afficher
c'est ça, bravo 
 Posté par 
blangre :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 09:49
@Simon92:



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C'est la première solution qui m'est venue. Elle a un petit côté bricolé  mais rien ne t'empêche de soustraire deux entiers positifs 
 Posté par 
simon92re :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 09:49
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oui mais l'ensemble -x_1 n'existe pas, si je ne m'abuse  
 Posté par 
simon92re :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 09:50
bon, bah sinon, j'ai remarqué que plumemeteore et blang étaient très fort en arithmétique, trop fort même 
 Posté par 
blangre :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 09:51
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L'ensemble -x_1 ? Comment ça  ?
 Posté par 
simon92re :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 09:56
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mouais, c'est bon, j'ai rien, di, mais le "-" sert vraiment a rien 
 Posté par 
blangre :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 10:00
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Ben si tu enlèves le "-", ma démo ne marche plus... Mais la démo de plumemeteore est plus "carrée", il n'y a pas de doute.
 Posté par 
simon92re :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 10:05
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pourquoi ca marche plus, ca revient au même... c'est exactement la même que plumemeteore mais tu as mis un moins, a moins que je l'ai mal comprise (elle n'est pas très développée a la fin)
 Posté par 
blangre :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 19:02
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Non, non, j'insiste, si tu enlèves le "-", ça ne marche plus.

Par exemple si -x_1 et x_2+x_3 ont même reste modulo n, on obtient -x_1=x_2+x_3 mod n donc x_1+x_2+x_3 est divisible par n. Sans le "-", tu obtiendrais x_2+x_3-x_1 divisible par n...

  Posté par 
simon92re :  Sous ensemble et divisibilité   29-02-08 à 19:17
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ah, j'ai cru que tu avais écrit, -x_1, puis -x_1+x_2 puis -x_1+x_2+x_3... et dans ce cas ca ne changait rien, désolé. 