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sous-espace propre

Posté par
QWERfghj123
24-01-22 à 13:10

Bonjour,  supposons qu'on a un sous-espace propre Elambda et E un espace vectoriel. Comment il vaut mieux comprendre le fait que le sous espace propre Elambda est inclus dans E? Dans ma tête, je me dis que le sous-espace propre est un ensemble des valeurs de u (vecteur) appartenant à E qui satisfont une certaine condition alors que E comporte TOUS les vecteurs. Alors, nécessairement, Elambda est inclus dans E? C'est ça la bonne compréhension ou il faut le voir autrement?
Merci à vous et bonne journée.

Posté par
ThierryPoma
re : sous-espace propre 24-01-22 à 13:27

Bonjour

Je ne comprends pas bien ta demande. Simplement

E_{\lambda}=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{}E\text{ et }u(x)=\lambda\,x\end{array}\right\}

Remarquons que l'on a systématiquement 0_E\in{}E_{\lambda}.

Posté par
lafol Moderateur
re : sous-espace propre 24-01-22 à 15:18

Bonjour
une des conditions à vérifier pour dire que F est un sous-espace de E n'est-elle pas : F est inclus dans E ?
dans "sous-espace propre", il y a "sous-espace" ...
bizarre ta question

Posté par
QWERfghj123
re : sous-espace propre 24-01-22 à 17:06

lafol @ 24-01-2022 à 15:18

Bonjour
une des conditions à vérifier pour dire que F est un sous-espace de E n'est-elle pas  : F est inclus dans E ?
dans "sous-espace propre", il y a "sous-espace" ...
bizarre ta question

Merci pour vos réponses. Par contre, je vois bien que le sous-espace propre comporte la formulation "sous-espace". Je n'étais pas sûre que ça change rien. Dire que ma question est bizarre est excessive: les questions bêtes ne peuvent-elles pas être posées, selon vous?...

Posté par
ThierryPoma
re : sous-espace propre 24-01-22 à 21:05

Ta question n'est pas stupide. C'est juste que je ne comprenais pas bien ton problème. Voici une façon de voir les choses de manière équivalente :

Posons

V_{\lambda}=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{}E\text{ et }x\ne0_E\text{ et }u(x)=\lambda\,x\end{array}\right\}

qui est le sous-ensemble de E constitué des vecteurs propres de u associés à la valeur propre \lambda de u. Remarquons alors que

E_{\lambda}=V_{\lambda}\cup\left\{0_E\right\}

qui possède une structure d'e.v. pour les lois induites sur  E_{\lambda} par celles de E.

Posté par
lafol Moderateur
re : sous-espace propre 24-01-22 à 22:55

En fait quand je disais bizarre, c'est surtout que je ne comprenais pas ce qui te posait problème (d'ailleurs je ne le comprends toujours pas)



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