Alors c'est très simple :

On pose les triplet (a+1,b+1,a-b) et (a'+1, b'+1, a'-b')
appartenant tous deux à l'ensemble F.

On pose k un réel (non nul de préférence).

=>

(a+1,b+1,a-b)+k(a'+1,b'+1,a'-b')
=(a+1+ka'+k,b+1+kb'+k, a-b+ka'-kb')

Il faut vérifier si le 3e membre du triplet vérifie la différence des
2 premiers.

on a (a+1+ka'+k)  il faut enlever le "+1" pour faire la soustraction
(c le texte qui l'impose)

a+ka'+k-b-kb'-k=a-b+ka'-kb'

qui est bien égal au 3e membre du triplet.

Donc F est bien un sev de   ^3

Sauf distraction

bonjour
oermettez moi de vous répondre

F={(a+1,b+1,a-b) / (a,b) R²    }

est t-il un sous espace vectoriel de   R^3 .

soit (a+1,b+1,a-b) un élément de F alors on peut écrire:
(a+1,b+1,a-b)= (a,0,a)+(1,1,0)+(0,b,-b)
                        = a(1,0,1)+b(0,1,-1)+(1,1,0)

on serait tenté de dire que est engendré par les deux vecteurs
(1,0,1) et (0,1,-1) mais il y a ce vecteur constant (1,1,0) qui dérange.

vous n'avez plus  qu'à montrer que ce n'est pas un sev
de R^3.?

essayez.

voila

bon courage